Álgebra Ejemplos

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{4} - 1 + 2 x^{3} - 2 x$

Paso 2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 1 + 2 x^{3} - 2 x$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 1^{2} + 2 x^{3} - 2 x$

Paso 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) + 2 x^{3} - 2 x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{3} - 2 x$

Paso 5.2

Factoriza.

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Paso 5.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{3} - 2 x$

Paso 5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x^{3} - 2 x$

Paso 6

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} - 2 x$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2}) - 2 x$

Paso 6.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 1)$

Paso 6.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 1)$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2} - 1)$

Paso 7

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2} - 1^{2})$

Paso 8

Factoriza.

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Paso 8.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x ((x + 1) (x - 1))$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$

Paso 9

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 9.1

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$

Paso 9.2

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $2 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x)$

Paso 9.3

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x)$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 x)$

Paso 10

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 10.1

Reorganiza los términos.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 x + 1)$

Paso 10.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2})$

Paso 10.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 10.4

Reescribe el polinomio.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})$

Paso 10.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Paso 11

Multiplica $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1

Mueve ${(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)$

Paso 11.2

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ .

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Paso 11.2.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

${(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} (x - 1)$

Paso 11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x + 1)}^{2 + 1} (x - 1)$

Paso 11.3

Suma $2$ y $1$ .

${(x + 1)}^{3} (x - 1)$