Álgebra Ejemplos

$r = 2 \sin (3 θ)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $2 \sin (3 θ)$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la razón del ángulo triple sinusoidal.

$r = 2 (- 4 \sin^{3} (θ) + 3 \sin (θ))$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$r = 2 (- 4 \sin^{3} (θ)) + 2 (3 \sin (θ))$

Paso 1.1.3

Multiplica.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$r = - 8 \sin^{3} (θ) + 2 (3 \sin (θ))$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$r = - 8 \sin^{3} (θ) + 6 \sin (θ)$

Paso 2

Dado que $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , reemplaza $\sin (θ)$ por $\frac{y}{r}$ .

$r = - 8 {(\frac{y}{r})}^{3} + 6 \frac{y}{r}$

Paso 3

Multiplica ambos lados por $r$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $r$ .

$r \cdot r = r (- 8 {(\frac{y}{r})}^{3} + 6 \frac{y}{r})$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$r^{2} = r (- 8 {(\frac{y}{r})}^{3} + 6 \frac{y}{r})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica $r (- 8 {(\frac{y}{r})}^{3} + 6 \frac{y}{r})$ .

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Paso 3.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r (- 8 \frac{y^{3}}{r^{3}} + 6 \frac{y}{r})$

Paso 3.3.1.1.2

Combina $- 8$ y $\frac{y^{3}}{r^{3}}$ .

$r^{2} = r (\frac{- 8 y^{3}}{r^{3}} + 6 \frac{y}{r})$

Paso 3.3.1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r^{2} = r (- \frac{8 y^{3}}{r^{3}} + 6 \frac{y}{r})$

Paso 3.3.1.1.4

Combina $6$ y $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r (- \frac{8 y^{3}}{r^{3}} + \frac{6 y}{r})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} = r (- \frac{8 y^{3}}{r^{3}}) + r \frac{6 y}{r}$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$r^{2} = - r \frac{8 y^{3}}{r^{3}} + r \frac{6 y}{r}$

Paso 3.3.1.2.3

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 3.3.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$r^{2} = - r \frac{8 y^{3}}{r^{3}} + r \frac{6 y}{r}$

Paso 3.3.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$r^{2} = - r \frac{8 y^{3}}{r^{3}} + 6 y$

Paso 3.3.1.2.4

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 3.3.1.2.4.1

Factoriza $r$ de $- r$ .

$r^{2} = r \cdot - 1 \frac{8 y^{3}}{r^{3}} + 6 y$

Paso 3.3.1.2.4.2

Factoriza $r$ de $r^{3}$ .

$r^{2} = r \cdot - 1 \frac{8 y^{3}}{r \cdot r^{2}} + 6 y$

Paso 3.3.1.2.4.3

Cancela el factor común.

$r^{2} = r \cdot - 1 \frac{8 y^{3}}{r \cdot r^{2}} + 6 y$

Paso 3.3.1.2.4.4

Reescribe la expresión.

$r^{2} = - \frac{8 y^{3}}{r^{2}} + 6 y$

Paso 4

Dado que $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , reemplaza $r^{2}$ por $x^{2} + y^{2}$ y $r$ por $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = - \frac{8 y^{3}}{x^{2} + y^{2}} + 6 y$