Álgebra Ejemplos

$\sqrt{5 x + 1} = 1 + 3 \sqrt{x}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{5 x + 1}}^{2} = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x + 1}$ como ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(5 x + 1)}^{1} = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$5 x + 1 = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$ como $(1 + 3 \sqrt{x}) (1 + 3 \sqrt{x})$ .

$5 x + 1 = (1 + 3 \sqrt{x}) (1 + 3 \sqrt{x})$

Paso 2.3.1.2

Expande $(1 + 3 \sqrt{x}) (1 + 3 \sqrt{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 1 = 1 (1 + 3 \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} (1 + 3 \sqrt{x})$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (3 \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} (1 + 3 \sqrt{x})$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (3 \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} \cdot 1 + 3 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 1 (3 \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} \cdot 1 + 3 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $3 \sqrt{x}$ por $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} \cdot 1 + 3 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $3 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} \sqrt{x}$

Paso 2.3.1.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})$

Paso 2.3.1.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})$

Paso 2.3.1.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 {\sqrt{x}}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 {\sqrt{x}}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 2.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 x^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 x^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 x^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 x$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $3 \sqrt{x}$ y $3 \sqrt{x}$ .

$5 x + 1 = 1 + 6 \sqrt{x} + 9 x$

Paso 3

Resuelve $6 \sqrt{x}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $1 + 6 \sqrt{x} + 9 x = 5 x + 1$ .

$1 + 6 \sqrt{x} + 9 x = 5 x + 1$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $6 \sqrt{x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$6 \sqrt{x} + 9 x = 5 x + 1 - 1$

Paso 3.2.2

Resta $9 x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 \sqrt{x} = 5 x + 1 - 1 - 9 x$

Paso 3.2.3

Combina los términos opuestos en $5 x + 1 - 1 - 9 x$ .

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Paso 3.2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$6 \sqrt{x} = 5 x + 0 - 9 x$

Paso 3.2.3.2

Suma $5 x$ y $0$ .

$6 \sqrt{x} = 5 x - 9 x$

Paso 3.2.4

Resta $9 x$ de $5 x$ .

$6 \sqrt{x} = - 4 x$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(6 \sqrt{x})}^{2} = {(- 4 x)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$36 x^{1} = {(- 4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$36 x = {(- 4 x)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(- 4 x)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- 4 x$ .

$36 x = {(- 4)}^{2} x^{2}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$36 x = 16 x^{2}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Resta $16 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$36 x - 16 x^{2} = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$36 u - 16 u^{2} = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $4 u$ de $36 u - 16 u^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $4 u$ de $36 u$ .

$4 u (9) - 16 u^{2} = 0$

Paso 6.2.2.2

Factoriza $4 u$ de $- 16 u^{2}$ .

$4 u (9) + 4 u (- 4 u) = 0$

Paso 6.2.2.3

Factoriza $4 u$ de $4 u (9) + 4 u (- 4 u)$ .

$4 u (9 - 4 u) = 0$

Paso 6.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$4 x (9 - 4 x) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 - 4 x = 0$

Paso 6.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.5

Establece $9 - 4 x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $9 - 4 x$ igual a $0$ .

$9 - 4 x = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $9 - 4 x = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - 9$

Paso 6.5.2.2

Divide cada término en $- 4 x = - 9$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.2.1

Divide cada término en $- 4 x = - 9$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 9}{- 4}$

Paso 6.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 6.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 9}{- 4}$

Paso 6.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 4}$

Paso 6.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{9}{4}$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (9 - 4 x) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{9}{4}$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{5 x + 1} = 1 + 3 \sqrt{x}$ sea verdadera.

$x = 0$