Álgebra Ejemplos

$2 \sqrt{x} + 3 \leq 8$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{x}$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 1.1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 \sqrt{x} \leq 8 - 3$

Paso 1.2

Resta $3$ de $8$ .

$2 \sqrt{x} \leq 5$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 5^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 5^{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 5^{2}$

Paso 3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{1} \leq 5^{2}$

Paso 3.2.1.4

Simplifica.

$4 x \leq 5^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$4 x \leq 25$

Paso 4

Divide cada término en $4 x \leq 25$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $4 x \leq 25$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{25}{4}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{25}{4}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{25}{4}$

Paso 5

Obtén el dominio de $2 \sqrt{x} - 5$ .

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Paso 5.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 5.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{25}{4}$

$x > \frac{25}{4}$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$2 \sqrt{- 2} + 3 \leq 8$

Paso 7.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{25}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{25}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$2 \sqrt{3} + 3 \leq 8$

Paso 7.2.3

$6.46410161$ del lado izquierdo es menor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{25}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{25}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 9$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $9$ en la desigualdad original.

$2 \sqrt{9} + 3 \leq 8$

Paso 7.3.3

$9$ del lado izquierdo es mayor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{25}{4}$ Verdadero

$x > \frac{25}{4}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{25}{4}$ Verdadero

$x > \frac{25}{4}$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq \frac{25}{4}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 \leq x \leq \frac{25}{4}$

Notación de intervalo:

$[0, \frac{25}{4}]$

Paso 10