Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 36} \geq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} + 36 = 0$

Paso 2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 6

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 36$

Paso 7

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Paso 8

Simplifica $\pm \sqrt{- 36}$ .

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Paso 8.1

Reescribe $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Paso 8.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (36)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Paso 8.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Paso 8.4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Paso 8.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 6$

Paso 8.6

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 6 i$

Paso 9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 6 i$

Paso 9.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 6 i$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 6 i, - 6 i$

Paso 10

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 2, - 2$

$x = 6 i, - 6 i$

Paso 11

Consolida las soluciones.

$x = 2, - 2$

Paso 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Paso 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 13.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 4}{{(- 4)}^{2} + 36} \geq 0$

Paso 13.1.3

$0.\overline{230769}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 13.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 4}{{(0)}^{2} + 36} \geq 0$

Paso 13.2.3

$- 0.\overline{1}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 13.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{2} - 4}{{(4)}^{2} + 36} \geq 0$

Paso 13.3.3

$0.\overline{230769}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 2$ o $x \geq 2$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - 2 or x \geq 2$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Paso 16