Álgebra Ejemplos

$12 e^{2 x} - 5 = 17 e^{x}$

Paso 1

Resta $17 e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$12 e^{2 x} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Paso 2

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

$12 {(e^{x})}^{2} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Paso 3

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$12 u^{2} - 5 - 17 u = 0$

Paso 4

Mueve $- 5$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Paso 5

Resuelve $u$

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Paso 5.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ y cuya suma es $b = - 17$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $- 17$ de $- 17 u$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $- 17$ como $3$ más $- 20$

$12 u^{2} + (3 - 20) u - 5 = 0$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$12 u^{2} + 3 u - 20 u - 5 = 0$

Paso 5.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(12 u^{2} + 3 u) - 20 u - 5 = 0$

Paso 5.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 u (4 u + 1) - 5 (4 u + 1) = 0$

Paso 5.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$

Paso 5.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$3 u - 5 = 0$

Paso 5.3

Establece $4 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.3.1

Establece $4 u + 1$ igual a $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $4 u + 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 5.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 u = - 1$

Paso 5.3.2.2

Divide cada término en $4 u = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.2.1

Divide cada término en $4 u = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 5.3.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{4}$

Paso 5.4

Establece $3 u - 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.4.1

Establece $3 u - 5$ igual a $0$ .

$3 u - 5 = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $3 u - 5 = 0$ en $u$ .

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Paso 5.4.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 u = 5$

Paso 5.4.2.2

Divide cada término en $3 u = 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.2.1

Divide cada término en $3 u = 5$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 5.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 5.4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{5}{3}$

Paso 5.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{1}{4}, \frac{5}{3}$

Paso 6

Sustituye $- \frac{1}{4}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- \frac{1}{4} = e^{x}$

Paso 7

Resuelve $- \frac{1}{4} = e^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - \frac{1}{4}$ .

$e^{x} = - \frac{1}{4}$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{1}{4})$

Paso 7.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- \frac{1}{4})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.4

No hay soluciones para $e^{x} = - \frac{1}{4}$

No hay solución

Paso 8

Sustituye $\frac{5}{3}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{5}{3} = e^{x}$

Paso 9

Resuelve $\frac{5}{3} = e^{x}$ .

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{5}{3}$ .

$e^{x} = \frac{5}{3}$

Paso 9.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5}{3})$

Paso 9.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 9.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5}{3})$

Paso 9.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5}{3})$

Paso 9.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Forma decimal:

$x = 0.51082562 \dots$