Álgebra Ejemplos

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} - 32 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $4^{x}$ como ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} - 14 \cdot 2^{x} - 32 = 0$

Paso 1.2

Reescribe ${(2^{2})}^{x}$ como ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} - 14 \cdot 2^{x} - 32 = 0$

Paso 1.3

Sea $u = 2^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $2^{x}$ .

$u^{2} - 14 u - 32 = 0$

Paso 1.4

Factoriza $u^{2} - 14 u - 32$ con el método AC.

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Paso 1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 32$ y cuya suma es $- 14$ .

$- 16, 2$

Paso 1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 16) (u + 2) = 0$

Paso 1.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2^{x}$ .

$(2^{x} - 16) (2^{x} + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2^{x} - 16 = 0$

$2^{x} + 2 = 0$

Paso 3

Establece $2^{x} - 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $2^{x} - 16$ igual a $0$ .

$2^{x} - 16 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2^{x} - 16 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$2^{x} = 16$

Paso 3.2.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{4}$

Paso 3.2.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 4$

Paso 4

Establece $2^{x} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $2^{x} + 2$ igual a $0$ .

$2^{x} + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2^{x} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2^{x} = - 2$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Paso 4.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 2)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2.4

No hay soluciones para $2^{x} = - 2$

No hay solución

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2^{x} - 16) (2^{x} + 2) = 0$ verdadera.

$x = 4$