Álgebra Ejemplos

$27 y^{3} - 27 y^{2} + 9 y - 1 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza $27 y^{3} - 27 y^{2} + 9 y - 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Paso 1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{1}$

Paso 1.1.3

Sustituye $0.\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.1.3.1

Sustituye $0.\overline{3}$ en el polinomio.

$27 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 27 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 9 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Paso 1.1.3.2

Eleva $0.\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$27 \cdot 0.\overline{037} - 27 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 9 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $27$ por $0.\overline{037}$ .

$1 - 27 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 9 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Paso 1.1.3.4

Eleva $0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$1 - 27 \cdot 0.\overline{1} + 9 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $- 27$ por $0.\overline{1}$ .

$1 - 3 + 9 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Paso 1.1.3.6

Resta $3$ de $1$ .

$- 2 + 9 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $9$ por $0.\overline{3}$ .

$- 2 + 3 - 1$

Paso 1.1.3.8

Suma $- 2$ y $3$ .

$1 - 1$

Paso 1.1.3.9

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 1.1.4

Como $0.\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 y - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{27 y^{3} - 27 y^{2} + 9 y - 1}{3 y - 1}$

Paso 1.1.5

Divide $27 y^{3} - 27 y^{2} + 9 y - 1$ por $3 y - 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 y$

$1$

$27 y^{3}$

$27 y^{2}$

$9 y$

$1$

Paso 1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $27 y^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 y$ .

					$9 y^{2}$
	$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$

Paso 1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$9 y^{2}$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			+	$27 y^{3}$	-	$9 y^{2}$

Paso 1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $27 y^{3} - 9 y^{2}$ .

				$9 y^{2}$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$

Paso 1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$9 y^{2}$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$

Paso 1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$9 y^{2}$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$	+	$9 y$

Paso 1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 18 y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 y$ .

				$9 y^{2}$	-	$6 y$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$	+	$9 y$

Paso 1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$9 y^{2}$	-	$6 y$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$	+	$9 y$
					-	$18 y^{2}$	+	$6 y$

Paso 1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 18 y^{2} + 6 y$ .

				$9 y^{2}$	-	$6 y$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$	+	$9 y$
					+	$18 y^{2}$	-	$6 y$

Paso 1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$9 y^{2}$	-	$6 y$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$	+	$9 y$
					+	$18 y^{2}$	-	$6 y$
							+	$3 y$

Paso 1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$9 y^{2}$	-	$6 y$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$	+	$9 y$
					+	$18 y^{2}$	-	$6 y$
							+	$3 y$	-	$1$

Paso 1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 y$ por el término de mayor orden en el divisor $3 y$ .

				$9 y^{2}$	-	$6 y$	+	$1$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$	+	$9 y$
					+	$18 y^{2}$	-	$6 y$
							+	$3 y$	-	$1$

Paso 1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$9 y^{2}$	-	$6 y$	+	$1$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$	+	$9 y$
					+	$18 y^{2}$	-	$6 y$
							+	$3 y$	-	$1$
							+	$3 y$	-	$1$

Paso 1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 y - 1$ .

				$9 y^{2}$	-	$6 y$	+	$1$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$	+	$9 y$
					+	$18 y^{2}$	-	$6 y$
							+	$3 y$	-	$1$
							-	$3 y$	+	$1$

Paso 1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$9 y^{2}$	-	$6 y$	+	$1$
$3 y$	-	$1$		$27 y^{3}$	-	$27 y^{2}$	+	$9 y$	-	$1$
			-	$27 y^{3}$	+	$9 y^{2}$
					-	$18 y^{2}$	+	$9 y$
					+	$18 y^{2}$	-	$6 y$
							+	$3 y$	-	$1$
							-	$3 y$	+	$1$
										$0$

Paso 1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$9 y^{2} - 6 y + 1$

Paso 1.1.6

Escribe $27 y^{3} - 27 y^{2} + 9 y - 1$ como un conjunto de factores.

$(3 y - 1) (9 y^{2} - 6 y + 1) = 0$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$(3 y - 1) ({(3 y)}^{2} - 6 y + 1) = 0$

Paso 1.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(3 y - 1) ({(3 y)}^{2} - 6 y + 1^{2}) = 0$

Paso 1.2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 y = 2 \cdot (3 y) \cdot 1$

Paso 1.2.4

Reescribe el polinomio.

$(3 y - 1) ({(3 y)}^{2} - 2 \cdot (3 y) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 1.2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 3 y$ y $b = 1$ .

$(3 y - 1) {(3 y - 1)}^{2} = 0$

Paso 1.3

Combina factores semejantes.

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Paso 1.3.1

Eleva $3 y - 1$ a la potencia de $1$ .

$(3 y - 1) {(3 y - 1)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(3 y - 1)}^{1 + 2} = 0$

Paso 1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

${(3 y - 1)}^{3} = 0$

Paso 2

Establece $3 y - 1$ igual a $0$ .

$3 y - 1 = 0$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 1$

Paso 3.2

Divide cada término en $3 y = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $3 y = 1$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$y = 0.\overline{3}$