Álgebra Ejemplos

$2.25 y^{2} - 3 y + 1 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2.25 y^{2} - 3 y + 1 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $0.25$ de $2.25 y^{2} - 3 y + 1$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $0.25$ de $2.25 y^{2}$ .

$0.25 (9 y^{2}) - 3 y + 1 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $0.25$ de $- 3 y$ .

$0.25 (9 y^{2}) + 0.25 (- 12 y) + 1 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $0.25$ de $1$ .

$0.25 (9 y^{2}) + 0.25 (- 12 y) + 0.25 (4) = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $0.25$ de $0.25 (9 y^{2}) + 0.25 (- 12 y)$ .

$0.25 (9 y^{2} - 12 y) + 0.25 (4) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $0.25$ de $0.25 (9 y^{2} - 12 y) + 0.25 (4)$ .

$0.25 (9 y^{2} - 12 y + 4) = 0$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$0.25 ({(3 y)}^{2} - 12 y + 4) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$0.25 ({(3 y)}^{2} - 12 y + 2^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$12 y = 2 \cdot (3 y) \cdot 2$

Paso 2.2.4

Reescribe el polinomio.

$0.25 ({(3 y)}^{2} - 2 \cdot (3 y) \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 2.2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 3 y$ y $b = 2$ .

$0.25 {(3 y - 2)}^{2} = 0$

Paso 3

Divide cada término en $0.25 {(3 y - 2)}^{2} = 0$ por $0.25$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $0.25 {(3 y - 2)}^{2} = 0$ por $0.25$ .

$\frac{0.25 {(3 y - 2)}^{2}}{0.25} = \frac{0}{0.25}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $0.25$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.25 {(3 y - 2)}^{2}}{0.25} = \frac{0}{0.25}$

Paso 3.2.1.2

Divide ${(3 y - 2)}^{2}$ por $1$ .

${(3 y - 2)}^{2} = \frac{0}{0.25}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide $0$ por $0.25$ .

${(3 y - 2)}^{2} = 0$

Paso 4

Establece $3 y - 2$ igual a $0$ .

$3 y - 2 = 0$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 2$

Paso 5.2

Divide cada término en $3 y = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $3 y = 2$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$y < \frac{2}{3}$

$y > \frac{2}{3}$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $y < \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $y < \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 0$

Paso 7.1.2

Reemplaza $y$ con $0$ en la desigualdad original.

$2.25 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 1 < 0$

Paso 7.1.3

$1$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $y > \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $y > \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 3$

Paso 7.2.2

Reemplaza $y$ con $3$ en la desigualdad original.

$2.25 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1 < 0$

Paso 7.2.3

$12.25$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$y < \frac{2}{3}$ Falso

$y > \frac{2}{3}$ Falso

$y < \frac{2}{3}$ Falso

$y > \frac{2}{3}$ Falso

Paso 8

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución