Álgebra Ejemplos

$a^{3} x^{2} - 16 a^{3} x + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$a^{3} x^{2} - 16 a^{3} x + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 2

Factoriza $a^{3}$ de $a^{3} x^{2} - 16 a^{3} x + 64 a^{3}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $a^{3}$ de $a^{3} x^{2}$ .

$a^{3} (x^{2}) - 16 a^{3} x + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 2.2

Factoriza $a^{3}$ de $- 16 a^{3} x$ .

$a^{3} (x^{2}) + a^{3} (- 16 x) + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 2.3

Factoriza $a^{3}$ de $64 a^{3}$ .

$a^{3} (x^{2}) + a^{3} (- 16 x) + a^{3} \cdot 64 - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 2.4

Factoriza $a^{3}$ de $a^{3} (x^{2}) + a^{3} (- 16 x)$ .

$a^{3} (x^{2} - 16 x) + a^{3} \cdot 64 - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 2.5

Factoriza $a^{3}$ de $a^{3} (x^{2} - 16 x) + a^{3} \cdot 64$ .

$a^{3} (x^{2} - 16 x + 64) - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$a^{3} (x^{2} - 16 x + 8^{2}) - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$a^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 8$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 4

Factoriza $b^{3}$ de $- b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$ .

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Paso 4.1

Factoriza $b^{3}$ de $- b^{3} x^{2}$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2}) + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Paso 4.2

Factoriza $b^{3}$ de $16 b^{3} x$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2}) + b^{3} (16 x) - 64 b^{3}$

Paso 4.3

Factoriza $b^{3}$ de $- 64 b^{3}$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2}) + b^{3} (16 x) + b^{3} \cdot - 64$

Paso 4.4

Factoriza $b^{3}$ de $b^{3} (- 1 x^{2}) + b^{3} (16 x)$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 16 x) + b^{3} \cdot - 64$

Paso 4.5

Factoriza $b^{3}$ de $b^{3} (- 1 x^{2} + 16 x) + b^{3} \cdot - 64$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 16 x - 64)$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 64 = 64$ y cuya suma es $b = 16$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $16$ de $16 x$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 16 (x) - 64)$

Paso 5.1.2

Reescribe $16$ como $8$ más $8$

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + (8 + 8) x - 64)$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 8 x + 8 x - 64)$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} ((- 1 x^{2} + 8 x) + 8 x - 64)$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (x (- 1 x + 8) - 8 (- x + 8))$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 1 x + 8$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} ((- 1 x + 8) (x - 8))$

Paso 6

Factoriza.

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Paso 6.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} ((- x + 8) (x - 8))$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- x + 8) (x - 8)$

Paso 7

Combina exponentes.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- (x) + 8) (x - 8)$

Paso 7.2

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- (x) - 1 (- 8)) (x - 8)$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- (x - 8)) (x - 8)$

Paso 7.4

Reescribe $- (x - 8)$ como $- 1 (x - 8)$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 (x - 8)) (x - 8)$

Paso 7.5

Elimina los paréntesis.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 (x - 8) (x - 8)$

Paso 7.6

Eleva $x - 8$ a la potencia de $1$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 ({(x - 8)}^{1} (x - 8))$

Paso 7.7

Eleva $x - 8$ a la potencia de $1$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 ({(x - 8)}^{1} {(x - 8)}^{1})$

Paso 7.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{1 + 1}$

Paso 7.9

Suma $1$ y $1$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$

Paso 8

Factoriza ${(x - 8)}^{2}$ de $a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$ .

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Paso 8.1

Factoriza ${(x - 8)}^{2}$ de $a^{3} {(x - 8)}^{2}$ .

${(x - 8)}^{2} a^{3} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$

Paso 8.2

Factoriza ${(x - 8)}^{2}$ de $b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$ .

${(x - 8)}^{2} a^{3} + {(x - 8)}^{2} (b^{3} \cdot - 1)$

Paso 8.3

Factoriza ${(x - 8)}^{2}$ de ${(x - 8)}^{2} a^{3} + {(x - 8)}^{2} (b^{3} \cdot - 1)$ .

${(x - 8)}^{2} (a^{3} + b^{3} \cdot - 1)$

Paso 9

Reescribe $b^{3} \cdot - 1$ como ${(b \cdot - 1)}^{3}$ .

${(x - 8)}^{2} (a^{3} + {(b \cdot - 1)}^{3})$

Paso 10

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = b \cdot - 1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a + b \cdot - 1) (a^{2} - a (b \cdot - 1) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - 1 b) (a^{2} - a (b \cdot - 1) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.2

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} - a (b \cdot - 1) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} - a (- 1 \cdot b) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} - 1 \cdot - 1 a b + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + 1 a b + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.6

Multiplica $a$ por $1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(- 1 b)}^{2}))$

Paso 11.1.8

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(- b)}^{2}))$

Paso 11.1.9

Aplica la regla del producto a $- b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(- 1)}^{2} b^{2}))$

Paso 11.1.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + 1 b^{2}))$

Paso 11.1.11

Multiplica $b^{2}$ por $1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + b^{2}))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

${(x - 8)}^{2} (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$