Álgebra Ejemplos

$f (x) = 4 x^{2}$ , $x \leq 0$

Paso 1

Obtén el rango de la función dada.

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Paso 1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

$[0, \infty)$

Paso 1.2

Convierte $[0, \infty)$ en una desigualdad.

$y \geq 0$

Paso 2

Obtén la inversa.

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Paso 2.1

Intercambia las variables.

$x = 4 y^{2}$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $4 y^{2} = x$ .

$4 y^{2} = x$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $4 y^{2} = x$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $4 y^{2} = x$ por $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4}$

Paso 2.2.2.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{4}$

Paso 2.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4}}$

Paso 2.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{4}}$ .

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Paso 2.2.4.1

Reescribe $\frac{x}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} x$ .

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Paso 2.2.4.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{4}}$

Paso 2.2.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 2.2.4.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} x}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} x}$

Paso 2.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x}$

Paso 2.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{2}$

Paso 2.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

Paso 2.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

Paso 2.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

Paso 2.3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}, - \frac{\sqrt{x}}{2}$

Paso 3

Obtén la inversa mediante el dominio y el rango de la función original.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt{x}}{2}, x \geq 0$

Paso 4