Álgebra Ejemplos

$\sin (θ) + \cos (θ) \cdot \cot (θ) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\cot (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Paso 1.1.2

Multiplica $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Paso 1.1.2.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Paso 1.1.2.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Paso 1.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = 2$

Paso 1.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \cdot 2$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Paso 4

Multiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Paso 4.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Paso 4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Paso 5

Cancela el factor común de $\sin (θ)$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \cdot 2$

Paso 6

Aplica la identidad pitagórica.

$1 = \sin (θ) \cdot 2$

Paso 7

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (θ)$ .

$1 = 2 \sin (θ)$

Paso 8

Reescribe la ecuación como $2 \sin (θ) = 1$ .

$2 \sin (θ) = 1$

Paso 9

Divide cada término en $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 9.2.1.2

Divide $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Paso 10

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 11

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Paso 12

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Paso 13

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 13.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 13.2

Combina fracciones.

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Paso 13.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 13.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 13.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 13.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Paso 14

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 14.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 14.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 14.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 14.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 15

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$