Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} \geq 2$

Paso 1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2 \geq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 10$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 5, 2$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \geq 0$

Paso 2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.3

Combina $- 2$ y $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 5) (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Expande $(x - 5) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 2) - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 5 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $5 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 \cdot 1 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 + 2 x}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.6

Suma $- 3 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 10 - 2}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.7

Resta $2$ de $- 10$ .

$\frac{x^{2} - x - 12}{1 - x} \geq 0$

Paso 2.5.8

Factoriza $x^{2} - x - 12$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 2.5.8.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x} \geq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$1 - x = 0$

Paso 4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 7

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 4$

$x = - 3$

$x = 1$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 4, - 3, 1$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - x = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 10.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 10}{1 - (- 6)} \geq 2$

Paso 12.1.3

$6.\overline{285714}$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 10}{1 - (0)} \geq 2$

Paso 12.2.3

$- 10$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 10}{1 - (2)} \geq 2$

Paso 12.3.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 10}{1 - (6)} \geq 2$

Paso 12.4.3

$- 1.6$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 3$ o $1 < x \leq 4$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - 3 or 1 < x \leq 4$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3] \cup (1, 4]$

Paso 15