Álgebra Ejemplos

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{a^{3} + 1}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{a^{3} + 1^{3}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2})}$

Paso 1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a^{2} - a + 1) (a + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1}$ por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{(1 - a) (a + 1)}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(a^{2} - a + 1) (a + 1)$ .

$\frac{(1 - a) (a + 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 - a) (a + 1) + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Expande $(1 - a) (a + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (a + 1) - a (a + 1) + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 a + 1 \cdot 1 - a (a + 1) + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 a + 1 \cdot 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{a + 1 \cdot 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{a + 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.3.1

Mueve $a$ .

$\frac{a + 1 - (a \cdot a) - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.2.1.3.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a + 1 - a^{2} - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{a + 1 - a^{2} - a + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.2.2

Resta $a$ de $a$ .

$\frac{1 - a^{2} + 0 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- a^{2} + 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.3

Suma $- a^{2}$ y $a^{2}$ .

$\frac{0 + 1}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 5.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$