Álgebra Ejemplos

$(\frac{2 a + b}{a} - \frac{a + 2 b}{b}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 1

Para escribir $\frac{2 a + b}{a}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{b}{b}$ .

$(\frac{2 a + b}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{a + 2 b}{b}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 2

Para escribir $- \frac{a + 2 b}{b}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a}{a}$ .

$(\frac{2 a + b}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{a + 2 b}{b} \cdot \frac{a}{a}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $a b$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{2 a + b}{a}$ por $\frac{b}{b}$ .

$(\frac{(2 a + b) b}{a b} - \frac{a + 2 b}{b} \cdot \frac{a}{a}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{a + 2 b}{b}$ por $\frac{a}{a}$ .

$(\frac{(2 a + b) b}{a b} - \frac{(a + 2 b) a}{b a}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 3.3

Reordena los factores de $b a$ .

$(\frac{(2 a + b) b}{a b} - \frac{(a + 2 b) a}{a b}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(2 a + b) b - (a + 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a b + b \cdot b - (a + 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{2 a b + b^{2} - (a + 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a b + b^{2} + (- a - (2 b)) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 a b + b^{2} + (- a - 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a b + b^{2} - a \cdot a - 2 b a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5.6

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.1

Mueve $a$ .

$\frac{2 a b + b^{2} - (a \cdot a) - 2 b a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5.6.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{2 a b + b^{2} - a^{2} - 2 b a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5.7

Resta $2 b a$ de $2 a b$ .

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Paso 5.7.1

Mueve $b$ .

$\frac{b^{2} - a^{2} + 2 a b - 2 a b}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5.7.2

Resta $2 a b$ de $2 a b$ .

$\frac{b^{2} - a^{2} + 0}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5.8

Suma $b^{2} - a^{2}$ y $0$ .

$\frac{b^{2} - a^{2}}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 5.9

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = b$ y $b = a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Factoriza $b$ de $b^{2} + a b$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $b$ de $b^{2}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b \cdot b + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 6.1.2

Factoriza $b$ de $a b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b \cdot b + b a} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 6.1.3

Factoriza $b$ de $b \cdot b + b a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Paso 6.2

Factoriza $b$ de $b^{2} - a b$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $b$ de $b^{2}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b \cdot b - a b})$

Paso 6.2.2

Factoriza $b$ de $- a b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b \cdot b + b (- a)})$

Paso 6.2.3

Factoriza $b$ de $b \cdot b + b (- a)$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b (b - a)})$

Paso 7

Para escribir $\frac{a - b}{b (b + a)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} \cdot \frac{b - a}{b - a} + \frac{a + b}{b (b - a)})$

Paso 8

Para escribir $\frac{a + b}{b (b - a)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{b + a}{b + a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} \cdot \frac{b - a}{b - a} + \frac{a + b}{b (b - a)} \cdot \frac{b + a}{b + a})$

Paso 9

Escribe cada expresión con un denominador común de $b (b + a) (b - a)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{a - b}{b (b + a)}$ por $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{(a - b) (b - a)}{b (b + a) (b - a)} + \frac{a + b}{b (b - a)} \cdot \frac{b + a}{b + a})$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{a + b}{b (b - a)}$ por $\frac{b + a}{b + a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{(a - b) (b - a)}{b (b + a) (b - a)} + \frac{(a + b) (b + a)}{b (b - a) (b + a)})$

Paso 9.3

Reordena los factores de $b (b - a) (b + a)$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{(a - b) (b - a)}{b (b + a) (b - a)} + \frac{(a + b) (b + a)}{b (b + a) (b - a)})$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + (a + b) (b + a)}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1

Reordena los términos.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + (a + b) (a + b)}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.2

Eleva $a + b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{1} (a + b)}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.3

Eleva $a + b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1}}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{1 + 1}}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{2}}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.6

Reescribe $(- a + b) (b - a)$ como ${(- a + b)}^{2}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{- {(- a + b)}^{2} + {(a + b)}^{2}}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.7

Reordena $- {(- a + b)}^{2}$ y ${(a + b)}^{2}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{{(a + b)}^{2} - {(- a + b)}^{2}}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a + b$ y $b = - a + b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a + b - a + b) (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.9

Simplifica.

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Paso 11.9.1

Resta $a$ de $a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(b + 0 + b) (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.9.2

Suma $b$ y $0$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(b + b) (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.9.3

Suma $b$ y $b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.9.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b - - a - b)}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.9.5

Multiplica $- - a$ .

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Paso 11.9.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b + 1 a - b)}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.9.5.2

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b + a - b)}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.9.6

Suma $a$ y $a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (2 a + b - b)}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.9.7

Resta $b$ de $b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (2 a + 0)}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.9.8

Suma $2 a$ y $0$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b \cdot 2 a}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 11.9.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{4 b a}{b (b + a) (b - a)}$

Paso 12

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 12.1

Cancela el factor común de $(b + a) (b - a)$ .

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Paso 12.1.1

Factoriza $(b + a) (b - a)$ de $b (b + a) (b - a)$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{4 b a}{(b + a) (b - a) (b)}$

Paso 12.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{4 b a}{(b + a) (b - a) b}$

Paso 12.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{a b} \cdot \frac{4 b a}{b}$

Paso 12.2

Cancela el factor común de $b a$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $b a$ de $a b$ .

$\frac{1}{b a (1)} \cdot \frac{4 b a}{b}$

Paso 12.2.2

Factoriza $b a$ de $4 b a$ .

$\frac{1}{b a (1)} \cdot \frac{b a (4)}{b}$

Paso 12.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{b a \cdot 1} \cdot \frac{b a \cdot 4}{b}$

Paso 12.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{b}$