Álgebra Ejemplos

$3 x - y^{2} = 8 y + 1$

Paso 1

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 8 y + 1 + y^{2}$

Paso 2

Divide cada término en $3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Paso 2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Paso 3

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 3.1.1

Simplifica $\frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$ .

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Paso 3.1.1.1

Mueve $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 3.1.1.2

Reordena $\frac{8 y}{3}$ y $\frac{y^{2}}{3}$ .

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 3.1.2

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{8}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

Paso 3.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 3.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 3.1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 3.1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 3.1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 3.1.2.3.2.3

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{4}{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 3.1.2.3.2.4

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

Paso 3.1.2.3.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

Paso 3.1.2.3.2.5.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{1}$

Paso 3.1.2.3.2.6

Divide $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 3.1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 3.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 3.1.2.4.2.1.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 3.1.2.4.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 3.1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{\frac{4}{3}}$

Paso 3.1.2.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 3.1.2.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.4.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $64$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 3.1.2.4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 3.1.2.4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{9} \cdot 3)$

Paso 3.1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.4.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 (3)} \cdot 3)$

Paso 3.1.2.4.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Paso 3.1.2.4.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 3.1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{1 - 16}{3}$

Paso 3.1.2.4.2.3

Resta $16$ de $1$ .

$e = \frac{- 15}{3}$

Paso 3.1.2.4.2.4

Divide $- 15$ por $3$ .

$e = - 5$

Paso 3.1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$

Paso 3.1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 4)}^{2} - 5$

Paso 3.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = - 5$

$k = - 4$

Paso 3.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 3.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 5, - 4)$

Paso 3.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 3.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 3.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Paso 3.5.3

Simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 3.5.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Paso 3.5.3.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 3.6

Obtén el foco.

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Paso 3.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 3.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{17}{4}, - 4)$

Paso 3.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 4$

Paso 3.8

Obtén la directriz.

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Paso 3.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 3.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{23}{4}$

Paso 3.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 5, - 4)$

Foco: $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Eje de simetría: $y = - 4$

Directriz: $x = - \frac{23}{4}$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 5, - 4)$

Foco: $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Eje de simetría: $y = - 4$

Directriz: $x = - \frac{23}{4}$

Paso 4

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $- 4$ en $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ . En este caso, el punto es $(- 4, - 5.7320508)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Suma $- 4$ y $5$ .

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3}$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $- 4 - \sqrt{3}$ .

$y = - 4 - \sqrt{3}$

Paso 4.1.3

Convierte $- 4 - \sqrt{3}$ a decimal.

$= - 5.7320508$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $- 4$ en $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ . En este caso, el punto es $(- 4, - 2.26794919)$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Suma $- 4$ y $5$ .

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 1}$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3}$

Paso 4.2.2.2

La respuesta final es $- 4 + \sqrt{3}$ .

$y = - 4 + \sqrt{3}$

Paso 4.2.3

Convierte $- 4 + \sqrt{3}$ a decimal.

$= - 2.26794919$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $- 3$ en $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ . En este caso, el punto es $(- 3, - 6.44948974)$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Suma $- 3$ y $5$ .

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 2}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{6}$

Paso 4.3.2.2

La respuesta final es $- 4 - \sqrt{6}$ .

$y = - 4 - \sqrt{6}$

Paso 4.3.3

Convierte $- 4 - \sqrt{6}$ a decimal.

$= - 6.44948974$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $- 3$ en $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ . En este caso, el punto es $(- 3, - 1.55051025)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Suma $- 3$ y $5$ .

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 2}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{6}$

Paso 4.4.2.2

La respuesta final es $- 4 + \sqrt{6}$ .

$y = - 4 + \sqrt{6}$

Paso 4.4.3

Convierte $- 4 + \sqrt{6}$ a decimal.

$= - 1.55051025$

Paso 4.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

Paso 5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 5, - 4)$

Foco: $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Eje de simetría: $y = - 4$

Directriz: $x = - \frac{23}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

Paso 6