Álgebra Ejemplos

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y^{2} - 5 a y}{a^{2} - y^{2}}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $y^{2} - 5 a y$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y \cdot y - 5 a y}{a^{2} - y^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $y$ de $- 5 a y$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y \cdot y + y (- 5 a)}{a^{2} - y^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y (- 5 a)$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y (y - 5 a)}{a^{2} - y^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = y$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{a - 2 y}{a + y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - y}{a - y}$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} \cdot \frac{a - y}{a - y} - \frac{y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{a - 2 y}{a + y}$ por $\frac{a - y}{a - y}$ .

$\frac{(a - 2 y) (a - y)}{(a + y) (a - y)} - \frac{y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(a - 2 y) (a - y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(a - 2 y) (a - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (a - y) - 2 y (a - y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + a (- y) - 2 y (a - y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + a (- y) - 2 y a - 2 y (- y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} + a (- y) - 2 y a - 2 y (- y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 y (- y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 \cdot - 1 y \cdot y - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.4.1

Mueve $y$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 \cdot - 1 (y \cdot y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.2.1.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 \cdot - 1 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a + 2 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.2.2

Resta $2 y a$ de $- a y$ .

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Paso 4.2.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 a y + 2 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.2.2.2

Resta $2 a y$ de $- a y$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y \cdot y - y (- 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $y$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - (y \cdot y) - y (- 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y^{2} - y (- 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 5 y a}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y^{2} + 5 y a}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.7

Suma $- 3 a y$ y $5 y a$ .

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Paso 4.7.1

Mueve $y$ .

$\frac{a^{2} + 2 y^{2} - y^{2} - 3 a y + 5 a y}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.7.2

Suma $- 3 a y$ y $5 a y$ .

$\frac{a^{2} + 2 y^{2} - y^{2} + 2 a y}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.8

Resta $y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{a^{2} + y^{2} + 2 a y}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.9.1

Reorganiza los términos.

$\frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.9.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 a y = 2 \cdot a \cdot y$

Paso 4.9.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot y + y^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Paso 4.9.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = y$ .

$\frac{{(a + y)}^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Paso 5

Cancela el factor común de ${(a + y)}^{2}$ y $a + y$ .

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Paso 5.1

Factoriza $a + y$ de ${(a + y)}^{2}$ .

$\frac{(a + y) (a + y)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a + y) (a + y)}{(a + y) (a - y)}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a + y}{a - y}$