Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 3 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 7

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 7.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 3$

$x = 4$

$x = 2, - 2$

Paso 10

Consolida las soluciones.

$x = - 3, 4, 2, - 2$

Paso 11

Obtén el dominio de $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ .

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Paso 11.1

Establece el denominador en $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x$

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Paso 11.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 11.2.2

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.2.2.1

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 11.2.2.2

Resuelve ${(x - 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.2.2.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 11.2.2.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 11.2.3

Establece $x^{2} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.2.3.1

Establece $x^{2} - 4$ igual a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 11.2.3.2

Resuelve $x^{2} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 11.2.3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 11.2.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 11.2.3.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 11.2.3.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 11.2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 11.2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 11.2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 11.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$ verdadera.

$x = 4, 2, - 2$

Paso 11.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Paso 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 13.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 6) + 3}{{((- 6) - 4)}^{2} ({(- 6)}^{2} - 4)} \leq 0$

Paso 13.1.3

$- 0.0009375$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2.5$

Paso 13.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2.5$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 2.5) + 3}{{((- 2.5) - 4)}^{2} ({(- 2.5)}^{2} - 4)} \leq 0$

Paso 13.2.3

$0.00525969$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 13.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 3}{{((0) - 4)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)} \leq 0$

Paso 13.3.3

$- 0.046875$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.4

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.4.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 13.4.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{(3) + 3}{{((3) - 4)}^{2} ({(3)}^{2} - 4)} \leq 0$

Paso 13.4.3

$1.2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 13.5.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{(6) + 3}{{((6) - 4)}^{2} ({(6)}^{2} - 4)} \leq 0$

Paso 13.5.3

$0.0703125$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Falso

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Falso

Paso 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 3$ o $- 2 < x < 2$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - 3 or - 2 < x < 2$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3] \cup (- 2, 2)$

Paso 16