Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} + 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{x {(x + 2)}^{3}} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x + 2$ y ${(x + 2)}^{3}$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1}{x {(x + 2)}^{3}} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $x + 2$ de $x {(x + 2)}^{3}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2})} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) \cdot 1}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2})} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x + 5) {(x + 2)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x (x + 2) (x + 5) (x + 2)}$

Paso 4.3

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x ({(x + 2)}^{1} (x + 2)) (x + 5)}$

Paso 4.4

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1}) (x + 5)}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x {(x + 2)}^{1 + 1} (x + 5)}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 5 - (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 5 - x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x + 5 - x - 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Paso 6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 5 - 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Paso 6.4

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{5 - 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Paso 6.5

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{3}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$