Álgebra Ejemplos

$f (x) = 64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$

Paso 1

Factoriza $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.015625, \pm 0.5, \pm 0.03125, \pm 0.25, \pm 0.0625, \pm 0.125, \pm 125, \pm 1.953125, \pm 62.5, \pm 3.90625, \pm 31.25, \pm 7.8125, \pm 15.625, \pm 5, \pm 0.078125, \pm 2.5, \pm 0.15625, \pm 1.25, \pm 0.3125, \pm 0.625, \pm 25, \pm 0.390625, \pm 12.5, \pm 0.78125, \pm 6.25, \pm 1.5625, \pm 3.125$

Paso 1.3

Sustituye $1.25$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1.25$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $1.25$ en el polinomio.

$64 \cdot {1.25}^{3} - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Paso 1.3.2

Eleva $1.25$ a la potencia de $3$ .

$64 \cdot 1.953125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Paso 1.3.3

Multiplica $64$ por $1.953125$ .

$125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Paso 1.3.4

Eleva $1.25$ a la potencia de $2$ .

$125 - 240 \cdot 1.5625 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 240$ por $1.5625$ .

$125 - 375 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Paso 1.3.6

Resta $375$ de $125$ .

$- 250 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Paso 1.3.7

Multiplica $300$ por $1.25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Paso 1.3.8

Suma $- 250$ y $375$ .

$125 - 125$

Paso 1.3.9

Resta $125$ de $125$ .

$0$

Paso 1.4

Como $1.25$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $4 x - 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125}{4 x - 5}$

Paso 1.5

Divide $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ por $4 x - 5$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4 x$

$5$

$64 x^{3}$

$240 x^{2}$

$300 x$

$125$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $64 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

					$16 x^{2}$
	$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			+	$64 x^{3}$	-	$80 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $64 x^{3} - 80 x^{2}$ .

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 160 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					-	$160 x^{2}$	+	$200 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 160 x^{2} + 200 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $100 x$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							+	$100 x$	-	$125$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $100 x - 125$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$16 x^{2} - 40 x + 25$

Paso 1.6

Escribe $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ como un conjunto de factores.

$f (x) = (4 x - 5) (16 x^{2} - 40 x + 25)$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 25)$

Paso 2.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 5^{2})$

Paso 2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$40 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 5$

Paso 2.4

Reescribe el polinomio.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 2 \cdot (4 x) \cdot 5 + 5^{2})$

Paso 2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 4 x$ y $b = 5$ .

$f (x) = (4 x - 5) {(4 x - 5)}^{2}$

Paso 3

Combina factores semejantes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x) = {(4 x - 5)}^{1 + 2}$

Paso 3.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (x) = {(4 x - 5)}^{3}$