Álgebra Ejemplos

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

Paso 1

Para obtener el número posible de raíces positivas, mira los signos en los coeficientes y cuenta la cantidad de veces que los signos en los coeficientes cambian de positivo a negativo o de negativo a positivo.

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

Paso 2

Como hay

3

$3$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo

3

$3$ raíces positivas (regla de los signos de Descartes). Los otros números posibles de las raíces negativas se obtienen mediante la resta de los pares de raíces (por ej.,

(3 - 2)

$(3 - 2)$ ).

Raíces positivas:

3

$3$ o

1

$1$

Paso 3

Para obtener el número posible de raíces negativas, reemplaza

x

$x$ por

- x

$- x$ y repite la comparación del signo.

f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Paso 4

Simplifica el polinomio.

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Paso 4.1

Elimina los paréntesis.

f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Aplica la regla del producto a

- x

$- x$ .

f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Paso 4.2.2

Eleva

- 1

$- 1$ a la potencia de

3

$3$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Paso 4.2.3

Aplica la regla del producto a

- x

$- x$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 1$

Paso 4.2.4

Eleva

- 1

$- 1$ a la potencia de

2

$2$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 (1 x^{2}) - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 (1 x^{2}) - x - 1$

Paso 4.2.5

Multiplica

x^{2}

$x^{2}$ por

1

$1$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

Paso 5

Como hay

0

$0$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo

0

$0$ raíces negativas (regla de los signos de Descartes).

Raíces negativas:

0

$0$

Paso 6

El número posible de raíces positivas es

3

$3$ o

1

$1$ y el número posible de raíces negativas es

0

$0$ .

Raíces positivas:

3

$3$ o

1

$1$

Raíces negativas:

0

$0$