Álgebra Ejemplos

$V (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3$

Paso 1

Establece $2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 7 x^{3} + 7 x + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x^{3} + 7 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} + 7 x + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 7 x$ de $7 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 1 + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 1)$ .

$- 7 x (x^{2} - 1) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- 7 x ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + u - 3 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.1.7.1.1

Multiplica por $1$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + 1 u - 3 = 0$

Paso 2.1.7.1.2

Reescribe $1$ como $- 2$ más $3$

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + (- 2 + 3) u - 3 = 0$

Paso 2.1.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3 = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3 = 0$

Paso 2.1.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u (u - 1) + 3 (u - 1) = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u - 1$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (2 u + 3) = 0$

Paso 2.1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

Paso 2.1.9

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (2 x^{2} + 3) = 0$

Paso 2.1.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3)$ .

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Paso 2.1.11.1

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $- 7 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 7 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

Paso 2.1.11.2

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (- 7 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 7 x + 2 x^{2} + 3) = 0$

Paso 2.1.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 7 u + 2 u^{2} + 3) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.13.1

Reordena los términos.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 7 u + 3) = 0$

Paso 2.1.13.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 2.1.13.2.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 u$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 7 u + 3) = 0$

Paso 2.1.13.2.2

Reescribe $- 7$ como $- 1$ más $- 6$

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3) = 0$

Paso 2.1.13.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3) = 0$

Paso 2.1.13.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.13.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) (x - 1) ((2 u^{2} - 1 u) - 6 u + 3) = 0$

Paso 2.1.13.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) (x - 1) (u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)) = 0$

Paso 2.1.13.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 u - 1) (u - 3)) = 0$

Paso 2.1.14

Factoriza.

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Paso 2.1.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 x - 1) (x - 3)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1, \frac{1}{2}, 3$

Paso 3