Álgebra Ejemplos

$x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$

Paso 1

Dado que $x = r \cos (θ)$ , reemplaza $x$ por $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$

Paso 2

Dado que $y = r \sin (θ)$ , reemplaza $y$ por $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + {((r \sin (θ)) - 3)}^{2} = 9$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

${(r \cos (θ))}^{2} + {((r \sin (θ)) - 3)}^{2} - 9 = 0$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + {((r \sin (θ)) - 3)}^{2} - 9 = 0$

Paso 3.2.1.2

Reescribe ${(r \sin (θ) - 3)}^{2}$ como $(r \sin (θ) - 3) (r \sin (θ) - 3)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + (r \sin (θ) - 3) (r \sin (θ) - 3) - 9 = 0$

Paso 3.2.1.3

Expande $(r \sin (θ) - 3) (r \sin (θ) - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (r \sin (θ) - 3) - 3 (r \sin (θ) - 3) - 9 = 0$

Paso 3.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ) - 3) - 9 = 0$

Paso 3.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Paso 3.2.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.4.1.1

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.4.1.1.1

Mueve $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Paso 3.2.1.4.1.1.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Paso 3.2.1.4.1.2

Multiplica $r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Paso 3.2.1.4.1.2.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Paso 3.2.1.4.1.2.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Paso 3.2.1.4.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Paso 3.2.1.4.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Paso 3.2.1.4.1.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 3 \cdot (r \sin (θ)) - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Paso 3.2.1.4.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 3 r \sin (θ) - 3 r \sin (θ) + 9 - 9 = 0$

Paso 3.2.1.4.2

Resta $3 r \sin (θ)$ de $- 3 r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ) + 9 - 9 = 0$

Paso 3.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1

Combina los términos opuestos en $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ) + 9 - 9$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Resta $9$ de $9$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ) + 0 = 0$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ)$ y $0$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.2.2.2

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.2.2.3

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 6 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.2.2.4

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 6 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.2.3

Reorganiza los términos.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 6 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.2.4

Aplica la identidad pitagórica.

$r^{2} \cdot 1 - 6 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.2.5

Multiplica $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} - 6 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.3

Factoriza $r$ de $r^{2} - 6 r \sin (θ)$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $r$ de $r^{2}$ .

$r \cdot r - 6 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $r$ de $- 6 r \sin (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \sin (θ)) = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza $r$ de $r \cdot r + r (- 6 \sin (θ))$ .

$r (r - 6 \sin (θ)) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r = 0$

$r - 6 \sin (θ) = 0$

Paso 3.5

Establece $r$ igual a $0$ .

$r = 0$

Paso 3.6

Establece $r - 6 \sin (θ)$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 3.6.1

Establece $r - 6 \sin (θ)$ igual a $0$ .

$r - 6 \sin (θ) = 0$

Paso 3.6.2

Suma $6 \sin (θ)$ a ambos lados de la ecuación.

$r = 6 \sin (θ)$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $r (r - 6 \sin (θ)) = 0$ verdadera.

$r = 0$

$r = 6 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 6 \sin (θ)$