Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 6 & 3 \\ 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Paso 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Paso 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 3 \\ - 4 & 0 \end{array} |$

Paso 2.1.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 6 \cdot 0 - (- 4 \cdot 3)$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$a_{11} = 0 - (- 4 \cdot 3)$

Paso 2.1.2.2.1.2

Multiplica $- (- 4 \cdot 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$a_{11} = 0 - - 12$

Paso 2.1.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$a_{11} = 0 + 12$

Paso 2.1.2.2.2

Suma $0$ y $12$ .

$a_{11} = 12$

Paso 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.1

Multiplica $0$ por $1$ .

$a_{12} = 0 - 2 \cdot 3$

Paso 2.2.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$a_{12} = 0 - 6$

Paso 2.2.2.2.2

Resta $6$ de $0$ .

$a_{12} = - 6$

Paso 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 2.3.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 6$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a_{13} = - 4 - 2 \cdot 6$

Paso 2.3.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$a_{13} = - 4 - 12$

Paso 2.3.2.2.2

Resta $12$ de $- 4$ .

$a_{13} = - 16$

Paso 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 0 \end{array} |$

Paso 2.4.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 0 - (- 4 \cdot - 1)$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$a_{21} = 0 - (- 4 \cdot - 1)$

Paso 2.4.2.2.1.2

Multiplica $- (- 4 \cdot - 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$a_{21} = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 2.4.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$a_{21} = 0 - 4$

Paso 2.4.2.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$a_{21} = - 4$

Paso 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Paso 2.5.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 0 - 2 \cdot - 1$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$a_{22} = 0 - 2 \cdot - 1$

Paso 2.5.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$a_{22} = 0 + 2$

Paso 2.5.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$a_{22} = 2$

Paso 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 2.6.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot - 4 - 2 \cdot 2$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$a_{23} = - 12 - 2 \cdot 2$

Paso 2.6.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$a_{23} = - 12 - 4$

Paso 2.6.2.2.2

Resta $4$ de $- 12$ .

$a_{23} = - 16$

Paso 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Paso 2.7.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 3 - 6 \cdot - 1$

Paso 2.7.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$a_{31} = 6 - 6 \cdot - 1$

Paso 2.7.2.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$a_{31} = 6 + 6$

Paso 2.7.2.2.2

Suma $6$ y $6$ .

$a_{31} = 12$

Paso 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Paso 2.8.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot - 1$

Paso 2.8.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$a_{32} = 9 - 1 \cdot - 1$

Paso 2.8.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a_{32} = 9 + 1$

Paso 2.8.2.2.2

Suma $9$ y $1$ .

$a_{32} = 10$

Paso 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 2.9.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 6 - 1 \cdot 2$

Paso 2.9.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $6$ .

$a_{33} = 18 - 1 \cdot 2$

Paso 2.9.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$a_{33} = 18 - 2$

Paso 2.9.2.2.2

Resta $2$ de $18$ .

$a_{33} = 16$

Paso 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 12 & 6 & - 16 \\ 4 & 2 & 16 \\ 12 & - 10 & 16 \end{array}]$

Paso 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 12 & 4 & 12 \\ 6 & 2 & - 10 \\ - 16 & 16 & 16 \end{array}]$

Ingresa TU problema