Ejemplos

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b - c \\ a - b + c \end{array}]$

Paso 1

La transformación define un mapa de

$ℝ^{3}$ a

$ℝ^{3}$ . Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Paso 2

Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Paso 3

Establece dos matrices para comprobar que

$S$ conserva la propiedad de la suma.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Paso 4

Suma las dos matrices.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Paso 5

Aplica la transformación al vector.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Reorganiza

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Paso 6.2

Reorganiza

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Paso 6.3

Reorganiza

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Paso 7

Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Paso 8

La propiedad de la suma de la transformación se mantiene verdadera.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Paso 9

Para que una transformación sea lineal, debe mantener la multiplicación escalar.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Paso 10

Factoriza la

$p$ de cada elemento.

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Paso 10.1

Multiplica

$p$ por cada elemento en la matriz.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Paso 10.2

Aplica la transformación al vector.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

Paso 10.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 10.3.1

Reorganiza

$(p a) - (p b) - (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

Paso 10.3.2

Reorganiza

$(p a) - (p b) - (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

Paso 10.3.3

Reorganiza

$(p a) - (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

Paso 10.4

Factoriza cada elemento de la matriz.

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Paso 10.4.1

Factoriza el elemento

$0, 0$ mediante la multiplicación de

$a p - 1 b p - 1 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

Paso 10.4.2

Factoriza el elemento

$1, 0$ mediante la multiplicación de

$a p - 1 b p - 1 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b - c) \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

Paso 10.4.3

Factoriza el elemento

$2, 0$ mediante la multiplicación de

$a p - 1 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b - c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

Paso 11

La segunda propiedad de las transformaciones lineales se conserva en esta transformación.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Paso 12

Para que la transformación sea lineal, se debe conservar el vector cero.

$S (0) = 0$

Paso 13

Aplica la transformación al vector.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

Paso 14

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 14.1

Reorganiza

$(0) - (0) - (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

Paso 14.2

Reorganiza

$(0) - (0) - (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

Paso 14.3

Reorganiza

$(0) - (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 15

La transformación conserva el vector cero.

$S (0) = 0$

Paso 16

Como las tres propiedades de las transformaciones lineales no se cumplen, esta no es una transformación lineal.

Transformación lineal

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