Ejemplos

$(2, 3)$ , $(- 1, - 5)$

Paso 1

La ecuación general de una parábola con vértice $(h, k)$ es $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . En este caso, tenemos $(2, 3)$ como vértice $(h, k)$ y $(- 1, - 5)$ es un punto $(x, y)$ en la parábola. Para obtener $a$ , sustituye los dos puntos en $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$

Paso 2

Usa $- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$ para resolver $a$ , $a = - \frac{8}{9}$ .

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$ .

$a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$a {(- 1 - 2)}^{2} + 3 = - 5$

Paso 2.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$a {(- 3)}^{2} + 3 = - 5$

Paso 2.2.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$a \cdot 9 + 3 = - 5$

Paso 2.2.4

Mueve $9$ a la izquierda de $a$ .

$9 a + 3 = - 5$

Paso 2.3

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$9 a = - 5 - 3$

Paso 2.3.2

Resta $3$ de $- 5$ .

$9 a = - 8$

Paso 2.4

Divide cada término en $9 a = - 8$ por $9$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $9 a = - 8$ por $9$ .

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{- 8}{9}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{8}{9}$

Paso 3

Mediante $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , la ecuación general de la parábola con el vértice $(2, 3)$ y $a = - \frac{8}{9}$ es $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ .

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Paso 4

Resuelve $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ en $y$ .

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Paso 4.1

Elimina los paréntesis.

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Paso 4.2

Multiplica $- \frac{8}{9}$ por ${(x - (2))}^{2}$ .

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x - (2))}^{2} + 3$

Paso 4.3

Elimina los paréntesis.

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Paso 4.4

Simplifica $(- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

Paso 4.4.1.2

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = - \frac{8}{9} ((x - 2) (x - 2)) + 3$

Paso 4.4.1.3

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{8}{9} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3$

Paso 4.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3$

Paso 4.4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Paso 4.4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.4.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Paso 4.4.1.4.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Paso 4.4.1.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3$

Paso 4.4.1.4.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 4 x + 4) + 3$

Paso 4.4.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{8}{9} x^{2} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Paso 4.4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.4.1.6.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Paso 4.4.1.6.2

Multiplica $- \frac{8}{9} (- 4 x)$ .

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Paso 4.4.1.6.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + 4 (\frac{8}{9}) x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Paso 4.4.1.6.2.2

Combina $4$ y $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{4 \cdot 8}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Paso 4.4.1.6.2.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Paso 4.4.1.6.2.4

Combina $\frac{32}{9}$ y $x$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Paso 4.4.1.6.3

Multiplica $- \frac{8}{9} \cdot 4$ .

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Paso 4.4.1.6.3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - 4 (\frac{8}{9}) + 3$

Paso 4.4.1.6.3.2

Combina $- 4$ y $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 4 \cdot 8}{9} + 3$

Paso 4.4.1.6.3.3

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

Paso 4.4.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.7.1

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = - \frac{8 \cdot x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

Paso 4.4.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3$

Paso 4.4.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

Paso 4.4.3

Combina $3$ y $\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Paso 4.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 3 \cdot 9}{9}$

Paso 4.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.5.1

Multiplica $3$ por $9$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 27}{9}$

Paso 4.4.5.2

Suma $- 32$ y $27$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 5}{9}$

Paso 4.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{5}{9}$

Paso 5

La ecuación ordinaria y la forma del vértice son las siguientes.

Ecuación ordinaria: $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

Forma de vértice: $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Paso 6

Simplifica la ecuación ordinaria.

Ecuación ordinaria: $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

Forma de vértice: $y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

Paso 7

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