Ejemplos

(0, 1)

$(0, 1)$ ,

(6, 1)

$(6, 1)$ ,

(8, 1)

$(8, 1)$

Paso 1

Hay dos ecuaciones generales para una elipse.

Ecuación de elipse horizontal

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Ecuación de elipse vertical

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 2

a

$a$ es la distancia entre el vértice

(8, 1)

$(8, 1)$ y el punto central

(0, 1)

$(0, 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

a = \sqrt{{(8 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{{(8 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Resta

0

$0$ de

8

$8$ .

a = \sqrt{8^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{8^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Eleva

8

$8$ a la potencia de

2

$2$ .

a = \sqrt{64 + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{64 + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Resta

1

$1$ de

1

$1$ .

a = \sqrt{64 + 0^{2}}

$a = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Paso 2.3.4

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

a = \sqrt{64 + 0}

$a = \sqrt{64 + 0}$

Paso 2.3.5

Suma

64

$64$ y

0

$0$ .

a = \sqrt{64}

$a = \sqrt{64}$

Paso 2.3.6

Reescribe

64

$64$ como

8^{2}

$8^{2}$ .

a = \sqrt{8^{2}}

$a = \sqrt{8^{2}}$

Paso 2.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

a = 8

$a = 8$

a = 8

$a = 8$

a = 8

$a = 8$

Paso 3

c

$c$ es la distancia entre el enfoque

(6, 1)

$(6, 1)$ y el centro

(0, 1)

$(0, 1)$ .

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Paso 3.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

c = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Resta

0

$0$ de

6

$6$ .

c = \sqrt{6^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{6^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Eleva

6

$6$ a la potencia de

2

$2$ .

c = \sqrt{36 + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{36 + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta

1

$1$ de

1

$1$ .

c = \sqrt{36 + 0^{2}}

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Paso 3.3.4

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

c = \sqrt{36 + 0}

$c = \sqrt{36 + 0}$

Paso 3.3.5

Suma

36

$36$ y

0

$0$ .

c = \sqrt{36}

$c = \sqrt{36}$

Paso 3.3.6

Reescribe

36

$36$ como

6^{2}

$6^{2}$ .

c = \sqrt{6^{2}}

$c = \sqrt{6^{2}}$

Paso 3.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

Paso 4

Mediante la ecuación

c^{2} = a^{2} - b^{2}

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , sustituye

8

$8$ por

a

$a$ y

6

$6$ por

c

$c$ .

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como

{(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$ .

{(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$

Paso 4.2

Eleva

8

$8$ a la potencia de

2

$2$ .

64 - b^{2} = 6^{2}

$64 - b^{2} = 6^{2}$

Paso 4.3

Eleva

6

$6$ a la potencia de

2

$2$ .

64 - b^{2} = 36

$64 - b^{2} = 36$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan

b

$b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Resta

64

$64$ de ambos lados de la ecuación.

- b^{2} = 36 - 64

$- b^{2} = 36 - 64$

Paso 4.4.2

Resta

64

$64$ de

36

$36$ .

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$

Paso 4.5

Divide cada término en

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$ por

- 1

$- 1$ y simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide cada término en

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}$

Paso 4.5.2.2

Divide

b^{2}

$b^{2}$ por

1

$1$ .

b^{2} = \frac{- 28}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

b^{2} = \frac{- 28}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

Paso 4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.3.1

Divide

- 28

$- 28$ por

- 1

$- 1$ .

b^{2} = 28

$b^{2} = 28$

b^{2} = 28

$b^{2} = 28$

b^{2} = 28

$b^{2} = 28$

Paso 4.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

b = \pm \sqrt{28}

$b = \pm \sqrt{28}$

Paso 4.7

Simplifica

\pm \sqrt{28}

$\pm \sqrt{28}$ .

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Paso 4.7.1

Reescribe

28

$28$ como

2^{2} \cdot 7

$2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 4.7.1.1

Factoriza

4

$4$ de

28

$28$ .

b = \pm \sqrt{4 (7)}

$b = \pm \sqrt{4 (7)}$

Paso 4.7.1.2

Reescribe

4

$4$ como

2^{2}

$2^{2}$ .

b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Paso 4.7.2

Retira los términos de abajo del radical.

b = \pm 2 \sqrt{7}

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

b = \pm 2 \sqrt{7}

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

Paso 4.8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.8.1

Primero, usa el valor positivo de

\pm

$\pm$ para obtener la primera solución.

b = 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}$

Paso 4.8.2

Luego, usa el valor negativo de

\pm

$\pm$ para obtener la segunda solución.

b = - 2 \sqrt{7}

$b = - 2 \sqrt{7}$

Paso 4.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

Paso 5

b

$b$ es una distancia, lo que significa que debe ser un número positivo.

b = 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}$

Paso 6

La pendiente de la línea entre el foco

(6, 1)

$(6, 1)$ y el centro

(0, 1)

$(0, 1)$ determina si la elipse es vertical u horizontal. Si la pendiente es

0

$0$ , la gráfica es horizontal. Si la pendiente es indefinida, la gráfica es vertical.

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Paso 6.1

La pendiente es igual al cambio en

y

$y$ sobre el cambio en

x

$x$ , o elevación sobre avance.

m = \frac{cambio en y}{cambio en x}

$m = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Paso 6.2

El cambio en

x

$x$ es igual a la diferencia en las coordenadas x (también llamada "avance") y el cambio en

y

$y$ es igual a la diferencia en las coordenadas y (también llamada "elevación").

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paso 6.3

Sustituye los valores de

x

$x$ y

y

$y$ en la ecuación para obtener la pendiente.

m = \frac{1 - (1)}{0 - (6)}

$m = \frac{1 - (1)}{0 - (6)}$

Paso 6.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

m = \frac{1 - 1}{0 - (6)}

$m = \frac{1 - 1}{0 - (6)}$

Paso 6.4.1.2

Resta

1

$1$ de

1

$1$ .

m = \frac{0}{0 - (6)}

$m = \frac{0}{0 - (6)}$

m = \frac{0}{0 - (6)}

$m = \frac{0}{0 - (6)}$

Paso 6.4.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

6

$6$ .

m = \frac{0}{0 - 6}

$m = \frac{0}{0 - 6}$

Paso 6.4.2.2

Resta

6

$6$ de

0

$0$ .

m = \frac{0}{- 6}

$m = \frac{0}{- 6}$

m = \frac{0}{- 6}

$m = \frac{0}{- 6}$

Paso 6.4.3

Divide

0

$0$ por

- 6

$- 6$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Paso 6.5

La ecuación general para una elipse horizontal es

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 7

Sustituye los valores

h = 0

$h = 0$ ,

k = 1

$k = 1$ ,

a = 8

$a = 8$ y

b = 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}$ en

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obtener la ecuación de la elipse

\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8

Simplifica para obtener la ecuación final de la elipse.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

\frac{{(x + 0)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.1.2

Suma

x

$x$ y

0

$0$ .

\frac{x^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

\frac{x^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.2

Eleva

8

$8$ a la potencia de

2

$2$ .

\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.4

Simplifica el denominador.

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Paso 8.4.1

Aplica la regla del producto a

2 \sqrt{7}

$2 \sqrt{7}$ .

\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Paso 8.4.2

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Paso 8.4.3

Reescribe

{\sqrt{7}}^{2}

${\sqrt{7}}^{2}$ como

7

$7$ .

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Paso 8.4.3.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{7}

$\sqrt{7}$ como

7^{\frac{1}{2}}

$7^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Paso 8.4.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Paso 8.4.3.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.4.3.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Paso 8.4.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Paso 8.5

Multiplica

$4$ por

$7$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{28} = 1$

Paso 9

Ingresa TU problema