Ejemplos

Dados los puntos ${\displaystyle C=(2,9,7)}$ y ${\displaystyle D=(3,3,3)}$, obtén un plano que contenga los puntos ${\displaystyle A=(1,2,3)}$ y ${\displaystyle B=(2,5,6)}$ que sea paralelo a la línea ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

Primero, calcula el vector de dirección de la línea que pasa por los puntos ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$. Esto se puede hacer si se toman los valores de las coordenadas del punto ${\displaystyle C}$ y se restan del punto ${\displaystyle D}$.

Reemplaza los valores ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle z}$ y luego simplifica para obtener el vector de dirección ${\displaystyle V_{\mathrm{CD}}}$ para la línea ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

Calcula el vector de dirección de una línea que pasa por los puntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ con el mismo método.

Reemplaza los valores ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle z}$ y luego simplifica para obtener el vector de dirección ${\displaystyle V_{\mathrm{AB}}}$ para la línea ${\displaystyle \mathrm{AB}}$.

El plano de la solución contendrá una línea con los puntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ y con el vector de dirección ${\displaystyle V_{AB}}$. Para que este plano sea paralelo a la línea ${\displaystyle CD}$, obtén el vector normal del plano, que también es ortogonal al vector de dirección de la línea ${\displaystyle CD}$. Calcula el vector normal mediante la obtención del producto cruzado ${\displaystyle V_{AB}}$ x ${\displaystyle V_{CD}}$, para lo cual hay que obtener el determinante de la matriz ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_B-x_A& y_B-y_A& z_B-z_A\\ x_D-x_C& y_D-y_C& z_D-z_C\end{array}\right]}$.

Suma la constante para encontrar que la ecuación del plano sea ${\displaystyle \left(6\right)x+\left(7\right)y+(-9)z=-7}$.