Trigonometría Ejemplos

$\sin (x)$ , $\tan (x) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Usa la definición de tangente para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\tan (x) = \frac{opuesto}{adyacente}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen los lados opuesto y adyacente, usa el teorema de Pitágoras para obtener el lado restante.

$Hipotenusa = \sqrt{{opuesto}^{2} + {adyacente}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Hipotenusa = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

Hipotenusa $= \sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{1 + 4}$

Paso 4.3

Suma $1$ y $4$ .

Hipotenusa $= \sqrt{5}$

Paso 5

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opuesto}{Hipotenusa}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 7.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 7.2.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 7.2.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 7.2.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 7.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 7.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Forma decimal:

$\sin (x) = 0.44721359 \dots$

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