Trigonometría Ejemplos

$32 + 32 i \sqrt{3}$ , $n = 3$

Paso 1

Calcula la distancia desde $(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ .

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Paso 2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Mueve $32$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 2.1.3

Aplica la regla del producto a $32 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.1.4

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

Paso 2.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

Paso 2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1

Multiplica $1024$ por $3$ .

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

Paso 2.3.2

Suma $1024$ y $3072$ .

$r = \sqrt{4096}$

Paso 2.3.3

Reescribe $4096$ como $64^{2}$ .

$r = \sqrt{64^{2}}$

Paso 2.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 64$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Paso 4

Simplifica $\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $32$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Paso 4.1.2

Divide $\sqrt{3}$ por $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

Paso 4.2

$\sqrt{3}$ es aproximadamente $1.7320508$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 4.3

El valor exacto de $\arctan (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Paso 5

Obtén el cuadrante.

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Paso 5.1

Mueve $32$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$(32, 32 \sqrt{3})$

Paso 5.2

El punto se ubica en el primer cuadrante porque tanto $x$ como $y$ son positivas. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante $1$

Paso 6

$(a, b)$ está en el primer cuadrante. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 7

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 8

Sustituye $r$ , $n$ y $θ$ en la fórmula.

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Paso 8.1

Combina ${(64)}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

Paso 8.2

Combina $c$ y $\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

Paso 8.3

Combina $i$ y $\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

Paso 8.4

Combina $s$ y $\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Paso 8.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 8.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Paso 8.5.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

Paso 8.5.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

Paso 8.5.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Paso 8.5.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Paso 8.5.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Paso 8.5.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Paso 8.5.8

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Paso 9

Sustituye $k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común.

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.4

Evalúa el exponente.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.5

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 9.5.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

Paso 9.5.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

Paso 9.6

Suma $\frac{π}{3}$ y $0$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

Paso 9.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 9.8

Multiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 9.8.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

Paso 9.8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

Paso 10

Sustituye $k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.3.1

Cancela el factor común.

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.4

Evalúa el exponente.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

Paso 10.6

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Paso 10.7

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Paso 10.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Paso 10.9

Simplifica el numerador.

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Paso 10.9.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

Paso 10.9.2

Suma $π$ y $6 π$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

Paso 10.10

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 10.11

Multiplica $\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 10.11.1

Multiplica $\frac{7 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

Paso 10.11.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

Paso 11

Sustituye $k = 2$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 11.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.3.1

Cancela el factor común.

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.4

Evalúa el exponente.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

Paso 11.6

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Paso 11.7

Combina $4 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Paso 11.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Paso 11.9

Simplifica el numerador.

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Paso 11.9.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

Paso 11.9.2

Suma $π$ y $12 π$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

Paso 11.10

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 11.11

Multiplica $\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 11.11.1

Multiplica $\frac{13 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

Paso 11.11.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Paso 12

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

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