Trigonometría Ejemplos

32 + 32 i \sqrt{3}

$32 + 32 i \sqrt{3}$ ,

n = 3

$n = 3$

Paso 1

Calcula la distancia desde

(a, b)

$(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Paso 2

Simplifica

\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}

$\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Eleva

32

$32$ a la potencia de

2

$2$ .

r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Mueve

32

$32$ a la izquierda de

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 2.1.3

Aplica la regla del producto a

32 \sqrt{3}

$32 \sqrt{3}$ .

r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.1.4

Eleva

32

$32$ a la potencia de

2

$2$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ como

3

$3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ como

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

Paso 2.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

Paso 2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica

$1024$ por

$3$ .

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

Paso 2.3.2

Suma

$1024$ y

$3072$ .

$r = \sqrt{4096}$

Paso 2.3.3

Reescribe

$4096$ como

$64^{2}$ .

$r = \sqrt{64^{2}}$

Paso 2.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 64$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Paso 4

Simplifica

$\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Cancela el factor común de

$32$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Paso 4.1.2

Divide

$\sqrt{3}$ por

$1$ .

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

Paso 4.2

$\sqrt{3}$ es aproximadamente

$1.7320508$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 4.3

El valor exacto de

$\arctan (\sqrt{3})$ es

$\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Paso 5

Obtén el cuadrante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Mueve

$32$ a la izquierda de

$\sqrt{3}$ .

$(32, 32 \sqrt{3})$

Paso 5.2

El punto se ubica en el primer cuadrante porque tanto

$x$ como

$y$ son positivas. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante

$1$

Cuadrante

$1$

Paso 6

$(a, b)$ está en el primer cuadrante.

$θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 7

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 8

Sustituye

$r$ ,

$n$ y

$θ$ en la fórmula.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Combina

${(64)}^{\frac{1}{3}}$ y

$\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

Paso 8.2

Combina

$c$ y

$\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

Paso 8.3

Combina

$i$ y

$\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

Paso 8.4

Combina

$s$ y

$\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Paso 8.5

Elimina los paréntesis.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Paso 8.5.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

Paso 8.5.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

Paso 8.5.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Paso 8.5.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Paso 8.5.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Paso 8.5.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Paso 8.5.8

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Paso 9

Sustituye

$k = 0$ en la fórmula y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reescribe

$64$ como

$4^{3}$ .

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.3

Cancela el factor común de

$3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Cancela el factor común.

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.4

Evalúa el exponente.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.5

Multiplica

$2 π (0)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1

Multiplica

$0$ por

$2$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

Paso 9.5.2

Multiplica

$0$ por

$π$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

Paso 9.6

Suma

$\frac{π}{3}$ y

$0$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

Paso 9.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 9.8

Multiplica

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.8.1

Multiplica

$\frac{π}{3}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

Paso 9.8.2

Multiplica

$3$ por

$3$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

Paso 10

Sustituye

$k = 1$ en la fórmula y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Reescribe

$64$ como

$4^{3}$ .

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.3

Cancela el factor común de

$3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Cancela el factor común.

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.4

Evalúa el exponente.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.5

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

Paso 10.6

Para escribir

$2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Paso 10.7

Combina

$2 π$ y

$\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Paso 10.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Paso 10.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.9.1

Multiplica

$3$ por

$2$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

Paso 10.9.2

Suma

$π$ y

$6 π$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

Paso 10.10

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 10.11

Multiplica

$\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.11.1

Multiplica

$\frac{7 π}{3}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

Paso 10.11.2

Multiplica

$3$ por

$3$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

Paso 11

Sustituye

$k = 2$ en la fórmula y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reescribe

$64$ como

$4^{3}$ .

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.3

Cancela el factor común de

$3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Cancela el factor común.

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.4

Evalúa el exponente.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.5

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

Paso 11.6

Para escribir

$4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Paso 11.7

Combina

$4 π$ y

$\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Paso 11.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Paso 11.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.9.1

Multiplica

$3$ por

$4$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

Paso 11.9.2

Suma

$π$ y

$12 π$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

Paso 11.10

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 11.11

Multiplica

$\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.11.1

Multiplica

$\frac{13 π}{3}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

Paso 11.11.2

Multiplica

$3$ por

$3$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Paso 12

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Ingresa TU problema