Trigonometría Ejemplos

$16 \sqrt{3} + 16 i$ , $n = 4$

Paso 1

Calcula la distancia desde $(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$ .

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Paso 2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1

Aplica la regla del producto a $16 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{16^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

Paso 2.1.2

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{256 {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16^{2}}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16^{2}}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{1} + 16^{2}}$

Paso 2.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{256 \cdot 3 + 16^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1

Multiplica $256$ por $3$ .

$r = \sqrt{768 + 16^{2}}$

Paso 2.3.2

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{768 + 256}$

Paso 2.3.3

Suma $768$ y $256$ .

$r = \sqrt{1024}$

Paso 2.3.4

Reescribe $1024$ como $32^{2}$ .

$r = \sqrt{32^{2}}$

Paso 2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 32$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

Paso 4

Simplifica $\arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} |)$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |)$

Paso 4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |)$

Paso 4.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |)$

Paso 4.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |)$

Paso 4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |)$

Paso 4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |)$

Paso 4.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)$

Paso 4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)$

Paso 4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

Paso 4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

Paso 4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{1}} |)$

Paso 4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3} |)$

Paso 4.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ es aproximadamente $0.57735026$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$θ̂ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 4.5

El valor exacto de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$θ̂ = \frac{π}{6}$

Paso 5

El punto se ubica en el primer cuadrante porque tanto $x$ como $y$ son positivas. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante $1$

Paso 6

$(a, b)$ está en el primer cuadrante. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{6}$

Paso 7

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 8

Sustituye $r$ , $n$ y $θ$ en la fórmula.

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Paso 8.1

Combina ${(32)}^{\frac{1}{4}}$ y $\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$

Paso 8.2

Combina $c$ y $\frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$

Paso 8.3

Combina $i$ y $\frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$

Paso 8.4

Combina $s$ y $\frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

Paso 8.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 8.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

Paso 8.5.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))))}{4}$

Paso 8.5.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)))}{4}$

Paso 8.5.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

Paso 8.5.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

Paso 8.5.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Paso 8.5.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Paso 8.5.8

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Paso 9

Sustituye $k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (0)}{4})$

Paso 9.2

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 9.2.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0 π}{4})$

Paso 9.2.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0}{4})$

Paso 9.3

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6}}{4})$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 9.5

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 9.5.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6 \cdot 4})$

Paso 9.5.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

Paso 10

Sustituye $k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (1)}{4})$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π}{4})$

Paso 10.3

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Paso 10.4

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 6}{6}}{4})$

Paso 10.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 6}{6}}{4})$

Paso 10.6

Simplifica el numerador.

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Paso 10.6.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{6}}{4})$

Paso 10.6.2

Suma $π$ y $12 π$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{13 π}{6}}{4})$

Paso 10.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 10.8

Multiplica $\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 10.8.1

Multiplica $\frac{13 π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6 \cdot 4})$

Paso 10.8.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

Paso 11

Sustituye $k = 2$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (2)}{4})$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π}{4})$

Paso 11.3

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Paso 11.4

Combina $4 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 6}{6}}{4})$

Paso 11.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 6}{6}}{4})$

Paso 11.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.6.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 24 π}{6}}{4})$

Paso 11.6.2

Suma $π$ y $24 π$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{25 π}{6}}{4})$

Paso 11.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 11.8

Multiplica $\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 11.8.1

Multiplica $\frac{25 π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6 \cdot 4})$

Paso 11.8.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

Paso 12

Sustituye $k = 3$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (3)}{4})$

Paso 12.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π}{4})$

Paso 12.3

Para escribir $6 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Paso 12.4

Combina $6 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{6 π \cdot 6}{6}}{4})$

Paso 12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 6 π \cdot 6}{6}}{4})$

Paso 12.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.6.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 36 π}{6}}{4})$

Paso 12.6.2

Suma $π$ y $36 π$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{37 π}{6}}{4})$

Paso 12.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 12.8

Multiplica $\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 12.8.1

Multiplica $\frac{37 π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6 \cdot 4})$

Paso 12.8.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

Paso 13

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

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