Trigonometría Ejemplos

$\frac{y}{(y - 2) (y + 3)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{y - 2}$

Paso 1.2

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(y - 2) (y + 3)$ .

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.5.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{A (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6.1.2

Divide $(A) (y + 3)$ por $1$ .

$y = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$y = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 1.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6.4.2

Divide $(B) (y - 2)$ por $1$ .

$y = A y + 3 A + (B) (y - 2)$

Paso 1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = A y + 3 A + B y + B \cdot - 2$

Paso 1.6.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B$ .

$y = A y + 3 A + B y - 2 B$

Paso 1.7

Mueve $3 A$ .

$y = A y + B y + 3 A - 2 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 3 A - 2 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 3 A - 2 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 3 A - 2 B$ por $1 - B$ .

$0 = 3 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (1 - B) - 2 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$0 = 3 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $2 B$ de $- 3 B$ .

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $0 = 3 - 5 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 - 5 B = 0$ .

$3 - 5 B = 0$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 B = - 3$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 5 B = - 3$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 5 B = - 3$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{3}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $\frac{3}{5}$ .

$A = 1 - (\frac{3}{5})$

$B = \frac{3}{5}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $1 - (\frac{3}{5})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Paso 3.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{5 - 3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Paso 3.4.2.1.3

Resta $3$ de $5$ .

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{2}{5}, B = \frac{3}{5}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{2}{5}}{y - 2} + \frac{\frac{3}{5}}{y + 3}$

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