Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1

Factoriza $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ .

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Paso 1.1

Factoriza $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 1.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Paso 1.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Paso 1.1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 + 4 + 1 - 6$

Paso 1.1.3.5

Suma $1$ y $4$ .

$5 + 1 - 6$

Paso 1.1.3.6

Suma $5$ y $1$ .

$6 - 6$

Paso 1.1.3.7

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 1.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Paso 1.1.5

Divide $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ por $x - 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Paso 1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Paso 1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Paso 1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Paso 1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Paso 1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{2} - 5 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Paso 1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Paso 1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Paso 1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Paso 1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Paso 1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x - 6$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Paso 1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

Paso 1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 5 x + 6$

Paso 1.1.6

Escribe $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ como un conjunto de factores.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 4

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 4.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$f (x) = x - 1$

Paso 5

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x + 2, x + 3$

Paso 6

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $x - 1$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6.3

Sustituye $- 2$ por $x$ en $x - 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Sustituye $- 2$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$- 2 - 1$

Paso 6.3.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$- 3$

Paso 6.4

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 6.5

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6.6

Sustituye $- 3$ por $x$ en $x - 1$ y simplifica.

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Paso 6.6.1

Sustituye $- 3$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$- 3 - 1$

Paso 6.6.2

Resta $1$ de $- 3$ .

$- 4$

Paso 6.7

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

Paso 7

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