Ejemplos

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Paso 1

Establece $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ igual a $0$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Paso 2.1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Paso 2.1.4.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $9 x$ de $9 x^{2} + 27 x$ .

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $9 x$ de $9 x^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

Paso 2.1.5.2

Factoriza $9 x$ de $27 x$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

Paso 2.1.5.3

Factoriza $9 x$ de $9 x (x) + 9 x (3)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $x + 3$ de $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ .

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Paso 2.1.6.1

Factoriza $x + 3$ de $9 x (x + 3)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

Paso 2.1.6.2

Factoriza $x + 3$ de $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

Paso 2.1.7

Suma $- 3 x$ y $9 x$ .

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Paso 2.1.8

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.8.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Paso 2.1.8.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 2.1.8.3

Reescribe el polinomio.

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 2.1.8.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = - 3$ (Multiplicidad de $3$ )

Paso 3

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