Estadística Ejemplos

\begin{matrix} x & P (x) 3 & 0.3 5 & 0.4 10 & 0.1 12 & 0.2 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.3 \\ 5 & 0.4 \\ 10 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

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Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta

x

$x$ toma un conjunto de valores separados (como

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad

P (x)

$P (x)$ a cada valor posible

x

$x$ . Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ cae entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es igual a

1

$1$ .

1. Para cada

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

0.3

$0.3$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.3

$0.3$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.3

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.4

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.5

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.6

Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.7

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ .

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2$

Paso 1.8

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$ .

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Paso 1.8.1

Suma

0.3

$0.3$ y

0.4

$0.4$ .

0.7 + 0.1 + 0.2

$0.7 + 0.1 + 0.2$

Paso 1.8.2

Suma

0.7

$0.7$ y

0.1

$0.1$ .

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

Paso 1.8.3

Suma

0.8

$0.8$ y

0.2

$0.2$ .

1

$1$

1

$1$

Paso 1.9

Para cada

x

$x$ , la probabilidad de

P (x)

$P (x)$ se encuentra entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles

x

$x$ es igual a

1

$1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

u = 3 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$u = 3 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica

3

$3$ por

0.3

$0.3$ .

u = 0.9 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$u = 0.9 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

Paso 3.2

Multiplica

5

$5$ por

0.4

$0.4$ .

u = 0.9 + 2 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$u = 0.9 + 2 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

Paso 3.3

Multiplica

10

$10$ por

0.1

$0.1$ .

u = 0.9 + 2 + 1 + 12 \cdot 0.2

$u = 0.9 + 2 + 1 + 12 \cdot 0.2$

Paso 3.4

Multiplica

12

$12$ por

0.2

$0.2$ .

u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4

$u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4$

u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4

$u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1

Suma

0.9

$0.9$ y

2

$2$ .

u = 2.9 + 1 + 2.4

$u = 2.9 + 1 + 2.4$

Paso 4.2

Suma

2.9

$2.9$ y

1

$1$ .

u = 3.9 + 2.4

$u = 3.9 + 2.4$

Paso 4.3

Suma

3.9

$3.9$ y

2.4

$2.4$ .

u = 6.3

$u = 6.3$

u = 6.3

$u = 6.3$

Paso 5

La varianza de una distribución es una medida de la dispersión y es igual a la raíz cuadrada de la desviación estándar.

s^{2} = \sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Paso 6

Completa con los valores conocidos.

{(3 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

6.3

$6.3$ .

{(3 - 6.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - 6.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.2

Resta

$6.3$ de

$3$ .

${(- 3.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.3

Eleva

$- 3.3$ a la potencia de

$2$ .

$10.89 \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.4

Multiplica

$10.89$ por

$0.3$ .

$3.267 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.5

Multiplica

$- 1$ por

$6.3$ .

$3.267 + {(5 - 6.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.6

Resta

$6.3$ de

$5$ .

$3.267 + {(- 1.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.7

Eleva

$- 1.3$ a la potencia de

$2$ .

$3.267 + 1.69 \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.8

Multiplica

$1.69$ por

$0.4$ .

$3.267 + 0.676 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.9

Multiplica

$- 1$ por

$6.3$ .

$3.267 + 0.676 + {(10 - 6.3)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.10

Resta

$6.3$ de

$10$ .

$3.267 + 0.676 + {3.7}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.11

Eleva

$3.7$ a la potencia de

$2$ .

$3.267 + 0.676 + 13.69 \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.12

Multiplica

$13.69$ por

$0.1$ .

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.13

Multiplica

$- 1$ por

$6.3$ .

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {(12 - 6.3)}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.14

Resta

$6.3$ de

$12$ .

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {5.7}^{2} \cdot 0.2$

Paso 7.1.15

Eleva

$5.7$ a la potencia de

$2$ .

$3.267 + 0.676 + 1.369 + 32.49 \cdot 0.2$

Paso 7.1.16

Multiplica

$32.49$ por

$0.2$ .

$3.267 + 0.676 + 1.369 + 6.498$

Paso 7.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.2.1

Suma

$3.267$ y

$0.676$ .

$3.943 + 1.369 + 6.498$

Paso 7.2.2

Suma

$3.943$ y

$1.369$ .

$5.312 + 6.498$

Paso 7.2.3

Suma

$5.312$ y

$6.498$ .

$11.81$

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