Estadística Ejemplos

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.4 \\ 7 & 0.3 \\ 9 & 0.2 \\ 10 & 0.1 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

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Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta

$x$ toma un conjunto de valores separados (como

$0$ ,

$1$ ,

$2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad

$P (x)$ a cada valor posible

$x$ . Para cada

$x$ , la probabilidad

$P (x)$ cae entre

$0$ y

$1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

$x$ es igual a

$1$ .

1. Para cada

$x$ ,

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

$0.4$ está entre

$0$ y

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.4$ está entre

$0$ y

$1$ inclusive

Paso 1.3

$0.3$ está entre

$0$ y

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.3$ está entre

$0$ y

$1$ inclusive

Paso 1.4

$0.2$ está entre

$0$ y

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.2$ está entre

$0$ y

$1$ inclusive

Paso 1.5

$0.1$ está entre

$0$ y

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.1$ está entre

$0$ y

$1$ inclusive

Paso 1.6

Para cada

$x$ , la probabilidad

$P (x)$ está entre

$0$ y

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.7

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

$x$ .

$0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1$

Paso 1.8

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

$x$ es

$0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$ .

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Paso 1.8.1

Suma

$0.4$ y

$0.3$ .

$0.7 + 0.2 + 0.1$

Paso 1.8.2

Suma

$0.7$ y

$0.2$ .

$0.9 + 0.1$

Paso 1.8.3

Suma

$0.9$ y

$0.1$ .

$1$

Paso 1.9

Para cada

$x$ , la probabilidad de

$P (x)$ se encuentra entre

$0$ y

$1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles

$x$ es igual a

$1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

$x$

Propiedad 2:

$0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

$x$

Propiedad 2:

$0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

$3 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica

$3$ por

$0.4$ .

$1.2 + 7 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1$

Paso 3.2

Multiplica

$7$ por

$0.3$ .

$1.2 + 2.1 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1$

Paso 3.3

Multiplica

$9$ por

$0.2$ .

$1.2 + 2.1 + 1.8 + 10 \cdot 0.1$

Paso 3.4

Multiplica

$10$ por

$0.1$ .

$1.2 + 2.1 + 1.8 + 1$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1

Suma

$1.2$ y

$2.1$ .

$3.3 + 1.8 + 1$

Paso 4.2

Suma

$3.3$ y

$1.8$ .

$5.1 + 1$

Paso 4.3

Suma

$5.1$ y

$1$ .

$6.1$

Paso 5

La desviación estándar de una distribución es una medida de la dispersión y es igual a la raíz cuadrada de la varianza.

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Paso 6

Completa con los valores conocidos.

$\sqrt{{(3 - (6.1))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica

$- 1$ por

$6.1$ .

$\sqrt{{(3 - 6.1)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.2

Resta

$6.1$ de

$3$ .

$\sqrt{{(- 3.1)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.3

Eleva

$- 3.1$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{9.61 \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.4

Multiplica

$9.61$ por

$0.4$ .

$\sqrt{3.844 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.5

Multiplica

$- 1$ por

$6.1$ .

$\sqrt{3.844 + {(7 - 6.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.6

Resta

$6.1$ de

$7$ .

$\sqrt{3.844 + {0.9}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.7

Eleva

$0.9$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{3.844 + 0.81 \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.8

Multiplica

$0.81$ por

$0.3$ .

$\sqrt{3.844 + 0.243 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.9

Multiplica

$- 1$ por

$6.1$ .

$\sqrt{3.844 + 0.243 + {(9 - 6.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.10

Resta

$6.1$ de

$9$ .

$\sqrt{3.844 + 0.243 + {2.9}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.11

Eleva

$2.9$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 8.41 \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.12

Multiplica

$8.41$ por

$0.2$ .

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.13

Multiplica

$- 1$ por

$6.1$ .

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {(10 - 6.1)}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.14

Resta

$6.1$ de

$10$ .

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {3.9}^{2} \cdot 0.1}$

Paso 7.15

Eleva

$3.9$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + 15.21 \cdot 0.1}$

Paso 7.16

Multiplica

$15.21$ por

$0.1$ .

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + 1.521}$

Paso 7.17

Suma

$3.844$ y

$0.243$ .

$\sqrt{4.087 + 1.682 + 1.521}$

Paso 7.18

Suma

$4.087$ y

$1.682$ .

$\sqrt{5.769 + 1.521}$

Paso 7.19

Suma

$5.769$ y

$1.521$ .

$\sqrt{7.29}$

Paso 7.20

Reescribe

$7.29$ como

${2.7}^{2}$ .

$\sqrt{{2.7}^{2}}$

Paso 7.21

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2.7$

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