Precálculo Ejemplos

$(2, 4)$ , $(- 4, 9)$

Paso 1

Usa la fórmula del producto escalar para obtener el ángulo entre dos vectores.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Obtén el producto escalar.

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Paso 2.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + 4 \cdot 9$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 4 \cdot 9$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 36$

Paso 2.2.2

Suma $- 8$ y $36$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 28$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Paso 3.2.3

Suma $4$ y $16$ .

$| a⃗ | = \sqrt{20}$

Paso 3.2.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Paso 3.2.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Paso 3.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| a⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 9^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 81}$

Paso 4.2.3

Suma $16$ y $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{97}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{28}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $28$ y $2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $28$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{5} \sqrt{97}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{5} \sqrt{97}})$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{5 \cdot 97}})$

Paso 6.2.2

Multiplica $5$ por $97$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{485}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{14}{\sqrt{485}}$ por $\frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{485}} \cdot \frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}})$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{14}{\sqrt{485}}$ por $\frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{\sqrt{485} \sqrt{485}})$

Paso 6.4.2

Eleva $\sqrt{485}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1} \sqrt{485}})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{485}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1} {\sqrt{485}}^{1}})$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{2}})$

Paso 6.4.6

Reescribe ${\sqrt{485}}^{2}$ como $485$ .

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Paso 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{485}$ como $485^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{(485^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{1}})$

Paso 6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485})$

Paso 6.5

Evalúa $\arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485})$ .

$θ = 50.52754015$

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