Precálculo Ejemplos

$(3, 8)$ , $(9, 12)$

Paso 1

Usa la fórmula del producto escalar para obtener el ángulo entre dos vectores.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Obtén el producto escalar.

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Paso 2.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $3$ por $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $8$ por $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

Paso 2.2.2

Suma $27$ y $96$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Paso 3.2.3

Suma $9$ y $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

Paso 4.2.3

Suma $81$ y $144$ .

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

Paso 4.2.4

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

Paso 4.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| b⃗ | = 15$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $123$ y $15$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $3$ de $123$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $3$ de $\sqrt{73} \cdot 15$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

Paso 6.2

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ por $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ por $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

Paso 6.4.2

Mueve $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{73}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

Paso 6.4.4

Eleva $\sqrt{73}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

Paso 6.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

Paso 6.4.7

Reescribe ${\sqrt{73}}^{2}$ como $73$ .

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Paso 6.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{73}$ como $73^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

Paso 6.4.7.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

Paso 6.5

Multiplica $5$ por $73$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

Paso 6.6

Evalúa $\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ .

$θ = 16.31385242$

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