Precálculo Ejemplos

$(0, 9)$ , $(5, 4)$ , $(1, 4)$

Paso 1

Usa la ecuación ordinaria de una ecuación cuadrática $y = a x^{2} + b x + c$ como el punto inicial para obtener la ecuación a través de los tres puntos.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 2

Crea un sistema de ecuaciones mediante la sustitución de los valores $x$ y $y$ de cada punto en la fórmula estándar de una ecuación cuadrática para crear el sistema de tres ecuaciones.

$9 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 4 = a {(5)}^{2} + b (5) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

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Paso 3.1

Resuelve $c$ en $9 = a \cdot 0^{2} + c$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $a \cdot 0^{2} + c = 9$ .

$a \cdot 0^{2} + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Paso 3.1.2

Simplifica $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a \cdot 0 + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $a$ por $0$ .

$0 + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

$0 + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $c$ .

$c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $c$ por $9$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $c$ en $4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$ por $9$ .

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.2

Simplifica $4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$ .

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Paso 3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$4 = a \cdot 25 + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.2.2.1.2

Mueve $25$ a la izquierda de $a$ .

$4 = 25 \cdot a + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.2.2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $b$ .

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $c$ en $4 = a + b + c$ por $9$ .

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.1

Elimina los paréntesis.

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Paso 3.3

Resuelve $a$ en $4 = a + b + 9$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $a + b + 9 = 4$ .

$a + b + 9 = 4$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$a + 9 = 4 - b$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Paso 3.3.2.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$a = 4 - b - 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Paso 3.3.2.3

Resta $9$ de $4$ .

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $a$ por $- b - 5$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $4 = 25 a + 5 b + 9$ por $- b - 5$ .

$4 = 25 (- b - 5) + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $25 (- b - 5) + 5 b + 9$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = 25 (- b) + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$4 = - 25 b + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.4.2.1.1.3

Multiplica $25$ por $- 5$ .

$4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Suma $- 25 b$ y $5 b$ .

$4 = - 20 b - 125 + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.4.2.1.2.2

Suma $- 125$ y $9$ .

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.5

Resuelve $b$ en $4 = - 20 b - 116$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 20 b - 116 = 4$ .

$- 20 b - 116 = 4$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Suma $116$ a ambos lados de la ecuación.

$- 20 b = 4 + 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.5.2.2

Suma $4$ y $116$ .

$- 20 b = 120$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$- 20 b = 120$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $- 20 b = 120$ por $- 20$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $- 20 b = 120$ por $- 20$ .

$\frac{- 20 b}{- 20} = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 20$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 20 b}{- 20} = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Divide $120$ por $- 20$ .

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $b$ por $- 6$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $a = - b - 5$ por $- 6$ .

$a = - (- 6) - 5$

$b = - 6$

$c = 9$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $- (- 6) - 5$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$a = 6 - 5$

$b = - 6$

$c = 9$

Paso 3.6.2.1.2

Resta $5$ de $6$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$a = 1, b = - 6, c = 9$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a$ , $b$ y $c$ en la fórmula para una ecuación cuadrática a fin de obtener la ecuación resultante.

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Paso 5

Ingresa TU problema