Precálculo Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Paso 1

La inversa de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que

$a d - b c$ es el determinante.

Paso 2

Obtén el determinante.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica

$3$ por

$6$ .

$18 - 4 \cdot 2$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

$- 4$ por

$2$ .

$18 - 8$

Paso 2.2.2

Resta

$8$ de

$18$ .

$10$

Paso 3

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 4

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

$\frac{1}{10} [\begin{array}{c} 6 & - 2 \\ - 4 & 3 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica

$\frac{1}{10}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} \cdot 6 & \frac{1}{10} \cdot - 2 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza

$2$ de

$10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (5)} \cdot 6 & \frac{1}{10} \cdot - 2 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.1.2

Factoriza

$2$ de

$6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3) & \frac{1}{10} \cdot - 2 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3) & \frac{1}{10} \cdot - 2 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.1.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} \cdot 3 & \frac{1}{10} \cdot - 2 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.2

Combina

$\frac{1}{5}$ y

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{10} \cdot - 2 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.3

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza

$2$ de

$10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{2 (5)} \cdot - 2 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.3.2

Factoriza

$2$ de

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.3.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot - 1 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.4

Combina

$\frac{1}{5}$ y

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{- 1}{5} \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.6

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza

$2$ de

$10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{2 (5)} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.6.2

Factoriza

$2$ de

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 2) & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.6.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 2) & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.6.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \cdot - 2 & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.7

Combina

$\frac{1}{5}$ y

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{- 2}{5} & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{2}{5} & \frac{1}{10} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.9

Combina

$\frac{1}{10}$ y

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{2}{5} & \frac{3}{10} \end{array}]$

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