Precálculo Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 2 & 1 4 & 4 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Paso 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Paso 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Paso 2.1.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1.1

Multiplica

4

$4$ por

3

$3$ .

a_{11} = 12 - 2 \cdot 4

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

Paso 2.1.2.2.1.2

Multiplica

- 2

$- 2$ por

4

$4$ .

a_{11} = 12 - 8

$a_{11} = 12 - 8$

a_{11} = 12 - 8

$a_{11} = 12 - 8$

Paso 2.1.2.2.2

Resta

8

$8$ de

12

$12$ .

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

Paso 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.1

Multiplica

4

$4$ por

3

$3$ .

a_{12} = 12 - 1 \cdot 4

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

Paso 2.2.2.2.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

a_{12} = 12 - 4

$a_{12} = 12 - 4$

a_{12} = 12 - 4

$a_{12} = 12 - 4$

Paso 2.2.2.2.2

Resta

4

$4$ de

12

$12$ .

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

Paso 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 2.3.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1.1

Multiplica

4

$4$ por

2

$2$ .

a_{13} = 8 - 1 \cdot 4

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

Paso 2.3.2.2.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

a_{13} = 8 - 4

$a_{13} = 8 - 4$

a_{13} = 8 - 4

$a_{13} = 8 - 4$

Paso 2.3.2.2.2

Resta

4

$4$ de

8

$8$ .

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

Paso 2.4

Calculate the minor for element

a_{21}

$a_{21}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Paso 2.4.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

3

$3$ .

a_{21} = 6 - 2 \cdot 1

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

Paso 2.4.2.2.1.2

Multiplica

- 2

$- 2$ por

1

$1$ .

a_{21} = 6 - 2

$a_{21} = 6 - 2$

a_{21} = 6 - 2

$a_{21} = 6 - 2$

Paso 2.4.2.2.2

Resta

2

$2$ de

6

$6$ .

a_{21} = 4

$a_{21} = 4$

a_{21} = 4

$a_{21} = 4$

a_{21} = 4

$a_{21} = 4$

a_{21} = 4

$a_{21} = 4$

Paso 2.5

Calculate the minor for element

a_{22}

$a_{22}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Paso 2.5.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1.1

Multiplica

3

$3$ por

3

$3$ .

a_{22} = 9 - 1 \cdot 1

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

Paso 2.5.2.2.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

a_{22} = 9 - 1

$a_{22} = 9 - 1$

a_{22} = 9 - 1

$a_{22} = 9 - 1$

Paso 2.5.2.2.2

Resta

1

$1$ de

9

$9$ .

a_{22} = 8

$a_{22} = 8$

a_{22} = 8

$a_{22} = 8$

a_{22} = 8

$a_{22} = 8$

a_{22} = 8

$a_{22} = 8$

Paso 2.6

Calculate the minor for element

a_{23}

$a_{23}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 2.6.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1.1

Multiplica

3

$3$ por

2

$2$ .

a_{23} = 6 - 1 \cdot 2

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

Paso 2.6.2.2.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

a_{23} = 6 - 2

$a_{23} = 6 - 2$

a_{23} = 6 - 2

$a_{23} = 6 - 2$

Paso 2.6.2.2.2

Resta

2

$2$ de

6

$6$ .

a_{23} = 4

$a_{23} = 4$

a_{23} = 4

$a_{23} = 4$

a_{23} = 4

$a_{23} = 4$

a_{23} = 4

$a_{23} = 4$

Paso 2.7

Calculate the minor for element

a_{31}

$a_{31}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 2.7.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Paso 2.7.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

4

$4$ .

a_{31} = 8 - 4 \cdot 1

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

Paso 2.7.2.2.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

a_{31} = 8 - 4

$a_{31} = 8 - 4$

a_{31} = 8 - 4

$a_{31} = 8 - 4$

Paso 2.7.2.2.2

Resta

4

$4$ de

8

$8$ .

a_{31} = 4

$a_{31} = 4$

a_{31} = 4

$a_{31} = 4$

a_{31} = 4

$a_{31} = 4$

a_{31} = 4

$a_{31} = 4$

Paso 2.8

Calculate the minor for element

a_{32}

$a_{32}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

The minor for

a_{32}

$a_{32}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 2.8.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Paso 2.8.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.2.1.1

Multiplica

3

$3$ por

4

$4$ .

a_{32} = 12 - 4 \cdot 1

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

Paso 2.8.2.2.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

a_{32} = 12 - 4

$a_{32} = 12 - 4$

a_{32} = 12 - 4

$a_{32} = 12 - 4$

Paso 2.8.2.2.2

Resta

4

$4$ de

12

$12$ .

a_{32} = 8

$a_{32} = 8$

a_{32} = 8

$a_{32} = 8$

a_{32} = 8

$a_{32} = 8$

a_{32} = 8

$a_{32} = 8$

Paso 2.9

Calculate the minor for element

a_{33}

$a_{33}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.1

The minor for

a_{33}

$a_{33}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 2.9.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

Paso 2.9.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.2.1.1

Multiplica

3

$3$ por

4

$4$ .

a_{33} = 12 - 4 \cdot 2

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

Paso 2.9.2.2.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

2

$2$ .

a_{33} = 12 - 8

$a_{33} = 12 - 8$

a_{33} = 12 - 8

$a_{33} = 12 - 8$

Paso 2.9.2.2.2

Resta

8

$8$ de

12

$12$ .

a_{33} = 4

$a_{33} = 4$

a_{33} = 4

$a_{33} = 4$

a_{33} = 4

$a_{33} = 4$

a_{33} = 4

$a_{33} = 4$

Paso 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

-

$-$ positions on the sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & - 8 & 4 - 4 & 8 & - 4 4 & - 8 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & - 8 & 4 - 4 & 8 & - 4 4 & - 8 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$

Paso 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & - 4 & 4 - 8 & 8 & - 8 4 & - 4 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 & 4 \\ - 8 & 8 & - 8 \\ 4 & - 4 & 4 \end{array}]$

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