Precálculo Ejemplos

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ,

x - 1

$x - 1$

Paso 1

Divide

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ con división sintética y comprueba si el resto es igual a

0

$0$ . Si el resto es igual a

0

$0$ , significa que

x - 1

$x - 1$ es un factor de

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ . Si el resto no es igual a

0

$0$ , significa que

x - 1

$x - 1$ no es un factor de

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

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Paso 1.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

Paso 1.2

El primer número en el dividendo

(1)

$(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

	$1$ $1$

Paso 1.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado

(1)

$(1)$ por el divisor

(1)

$(1)$ y coloca el resultado de

(1)

$(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo

(- 2)

$(- 2)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

Paso 1.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Paso 1.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado

(- 1)

$(- 1)$ por el divisor

(1)

$(1)$ y coloca el resultado de

(- 1)

$(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo

(- 10)

$(- 10)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Paso 1.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

Paso 1.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado

(- 11)

$(- 11)$ por el divisor

(1)

$(1)$ y coloca el resultado de

(- 11)

$(- 11)$ debajo del siguiente término en el dividendo

(7)

$(7)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

Paso 1.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Paso 1.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado

(- 4)

$(- 4)$ por el divisor

(1)

$(1)$ y coloca el resultado de

(- 4)

$(- 4)$ debajo del siguiente término en el dividendo

(4)

$(4)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Paso 1.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$	$0$ $0$

Paso 1.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4$

Paso 1.12

Simplifica el polinomio del cociente.

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

Paso 2

El resto de la división de

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ es

0

$0$ , lo que significa que

x - 1

$x - 1$ es un factor para

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

x - 1

$x - 1$ es un factor para

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$

Paso 3

Obtén todas las raíces posibles para

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

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Paso 3.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , donde

p

$p$ es un factor de la constante y

q

$q$ es un factor del coeficiente principal.

p = \pm 1, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Paso 3.2

Obtén todas las combinaciones de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 4

Establece la próxima división para determinar si

x - 4

$x - 4$ es un factor del polinomio

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Paso 5

Divide la expresión mediante división sintética para determinar si es un factor del polinomio. Como

x - 4

$x - 4$ se divide uniformemente en

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ ,

x - 4

$x - 4$ es un factor del polinomio y hay un polinomio restante de

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ .

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Paso 5.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Paso 5.2

El primer número en el dividendo

(1)

$(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

	$1$ $1$

Paso 5.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado

(1)

$(1)$ por el divisor

(4)

$(4)$ y coloca el resultado de

(4)

$(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo

(- 1)

$(- 1)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$

Paso 5.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Paso 5.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado

(3)

$(3)$ por el divisor

(4)

$(4)$ y coloca el resultado de

(12)

$(12)$ debajo del siguiente término en el dividendo

(- 11)

$(- 11)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Paso 5.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

Paso 5.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado

(1)

$(1)$ por el divisor

(4)

$(4)$ y coloca el resultado de

(4)

$(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo

(- 4)

$(- 4)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$	$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

Paso 5.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$	$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$

Paso 5.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

1 x^{2} + 3 x + 1

$1 x^{2} + 3 x + 1$

Paso 5.10

Simplifica el polinomio del cociente.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

Paso 6

Obtén todas las raíces posibles para

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ .

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Paso 6.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , donde

p

$p$ es un factor de la constante y

q

$q$ es un factor del coeficiente principal.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Paso 6.2

Obtén todas las combinaciones de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

Paso 7

El factor final es el único factor que queda de la división sintética.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

Paso 8

El polinomio factorizado es

(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$ .

(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$

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