Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Paso 5.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Paso 5.3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Paso 5.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Paso 5.3.7

Resta $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Paso 5.3.8

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.9

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.9.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 5.3.9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 1, 0)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(1, 0)$

Paso 6.4

El segundo vértice de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (1), 0)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 1, 0)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Divide $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Paso 8.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Paso 8.3.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Paso 8.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Paso 8.3.8

Resta $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Paso 8.3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 8.3.10

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.10.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 8.3.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10

Ingresa TU problema