Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Divide cada término por $16$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 4$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{16 - 4}$

Paso 5.3.4

Resta $4$ de $16$ .

$\sqrt{12}$

Paso 5.3.5

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Paso 5.3.6

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{3}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 4, 0)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(4, 0)$

Paso 6.4

El segundo vértice de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (4), 0)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 4, 0)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(2 \sqrt{3}, 0)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Paso 8.3.1.4

Resta $4$ de $16$ .

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Paso 8.3.1.5

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.3.1.5.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Paso 8.3.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Paso 8.3.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10

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