Precálculo Ejemplos

4 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$4 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Divide cada término por

12

$12$ para que el lado derecho sea igual a uno.

\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}

$\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a

1

$1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable

a

$a$ representa el radio del eje mayor de la elipse,

b

$b$ representa el radio del eje menor de la elipse,

h

$h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y

k

$k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

a = 2

$a = 2$

b = \sqrt{3}

$b = \sqrt{3}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de

(h, k)

$(h, k)$ . Sustituye los valores de

h

$h$ y

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén

c

$c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula.

\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ como

3

$3$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ como

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$\sqrt{4 - 3}$

Paso 5.3.3.2

Resta

$3$ de

$4$ .

$\sqrt{1}$

Paso 5.3.3.3

Cualquier raíz de

$1$ es

$1$ .

$1$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar

$a$ a

$k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$a$ y

$k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 2)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, 2)$

Paso 6.4

El segundo vértice de una elipse puede obtenerse mediante la resta de

$a$ de

$k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$a$ y

$k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (2))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, - 2)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ :

$(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ :

$(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ :

$(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ :

$(0, - 2)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar

$c$ a

$k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$c$ y

$k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 1)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(0, 1)$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar

$c$ de

$k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$c$ y

$k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (1))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(0, - 1)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ :

$(0, 1)$

${Focus}_{2}$ :

$(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ :

$(0, 1)$

${Focus}_{2}$ :

$(0, - 1)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de

$a$ y

$b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.2

Reescribe

${\sqrt{3}}^{2}$ como

$3$ .

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Paso 8.3.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{3}$ como

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Paso 8.3.2.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

Paso 8.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

Paso 8.3.3

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

Paso 8.3.4

Resta

$3$ de

$4$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

Paso 8.3.5

Cualquier raíz de

$1$ es

$1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro:

$(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ :

$(0, - 2)$

${Focus}_{1}$ :

$(0, 1)$

${Focus}_{2}$ :

$(0, - 1)$

Excentricidad:

$\frac{1}{2}$

Paso 10

Ingresa TU problema