Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} + y^{2} - 16 x + 2 y + 13 = 0$

Paso 1

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + y^{2} - 16 x + 2 y = - 13$

Paso 2

Completa el cuadrado de $4 x^{2} - 16 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 16$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 8}{4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $4$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $256$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 2.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Paso 3

Sustituye $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ por $4 x^{2} - 16 x$ en la ecuación $4 x^{2} + y^{2} - 16 x + 2 y = - 13$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 + y^{2} + 2 y = - 13$

Paso 4

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

$4 {(x - 2)}^{2} + y^{2} + 2 y = - 13 + 16$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} + 2 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 5.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 5.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 5.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Paso 6

Sustituye ${(y + 1)}^{2} - 1$ por $y^{2} + 2 y$ en la ecuación $4 x^{2} + y^{2} - 16 x + 2 y = - 13$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = - 13 + 16$

Paso 7

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

$4 {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = - 13 + 16 + 1$

Paso 8

Simplifica $- 13 + 16 + 1$ .

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Paso 8.1

Suma $- 13$ y $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 3 + 1$

Paso 8.2

Suma $3$ y $1$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$

Paso 9

Divide cada término por $4$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

${(x - 2)}^{2} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{4} = 1$

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