Precálculo Ejemplos

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan una variable al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta

52

$52$ de ambos lados de la ecuación.

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52$

Paso 1.2

Resta

52

$52$ de

3

$3$ .

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

Paso 2

Completa el cuadrado de

4 x^{2} + 8 x

$4 x^{2} + 8 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 4

$a = 4$

b = 8

$b = 8$

c = 0

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{8}{2 \cdot 4}

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de

8

$8$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Factoriza

2

$2$ de

8

$8$ .

d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ .

d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de

$4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 2.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Eleva

$8$ a la potencia de

$2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide

$64$ por

$16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 2.4.2.2

Resta

$4$ de

$0$ .

$e = - 4$

Paso 2.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Paso 3

Sustituye

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$ por

$4 x^{2} + 8 x$ en la ecuación

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 9 y^{2} + 54 y = - 49$

Paso 4

Mueve

$- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de

$4$ a ambos lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 49 + 4$

Paso 5

Completa el cuadrado de

$9 y^{2} + 54 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa la forma

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

$a$ ,

$b$ y

$c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de

$d$ con la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Sustituye los valores de

$a$ y

$b$ en la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de

$54$ y

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Factoriza

$2$ de

$54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza

$2$ de

$2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{27}{9}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de

$27$ y

$9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Factoriza

$9$ de

$27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.2.1

Factoriza

$9$ de

$9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 5.3.2.2.2.4

Divide

$3$ por

$1$ .

$d = 3$

Paso 5.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Eleva

$54$ a la potencia de

$2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide

$2916$ por

$36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica

$- 1$ por

$81$ .

$e = 0 - 81$

Paso 5.4.2.2

Resta

$81$ de

$0$ .

$e = - 81$

Paso 5.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Paso 6

Sustituye

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$ por

$9 y^{2} + 54 y$ en la ecuación

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 49 + 4$

Paso 7

Mueve

$- 81$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de

$81$ a ambos lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 49 + 4 + 81$

Paso 8

Simplifica

$- 49 + 4 + 81$ .

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Paso 8.1

Suma

$- 49$ y

$4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 45 + 81$

Paso 8.2

Suma

$- 45$ y

$81$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 36$

Paso 9

Divide cada término por

$36$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a

$1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea

$1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

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