Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x - 24 y + 48 = 0$

Paso 1

Resta $48$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x - 24 y = - 48$

Paso 2

Divide ambos lados de la ecuación por $4$ .

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y = - 12$

Paso 3

Completa el cuadrado de $x^{2} - 4 x$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 3.3.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 3.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Paso 3.4.2.1.1.6.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 3.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Paso 4

Sustituye ${(x - 2)}^{2} - 4$ por $x^{2} - 4 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y = - 12$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} - 6 y = - 12$

Paso 5

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} - 6 y = - 12 + 4$

Paso 6

Completa el cuadrado de $y^{2} - 6 y$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Paso 6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{1}$

Paso 6.3.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Paso 6.4.2.1.3

Divide $36$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Paso 6.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Paso 6.4.2.2

Resta $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 3)}^{2} - 9$ .

${(y - 3)}^{2} - 9$

Paso 7

Sustituye ${(y - 3)}^{2} - 9$ por $y^{2} - 6 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y = - 12$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} - 9 = - 12 + 4$

Paso 8

Mueve $- 9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $9$ a ambos lados.

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = - 12 + 4 + 9$

Paso 9

Simplifica $- 12 + 4 + 9$ .

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Paso 9.1

Suma $- 12$ y $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = - 8 + 9$

Paso 9.2

Suma $- 8$ y $9$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$

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