Precálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Paso 1

Escribe $f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$ como una ecuación.

$y = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Paso 2

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Completa el cuadrado de $7 x^{2} + 5 x - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 7$

$b = 5$

$c = - 4$

Paso 2.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 7}$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$d = \frac{5}{14}$

Paso 2.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}$

Paso 2.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}$

Paso 2.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $7$ .

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

Paso 2.1.4.2.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{28}{28}$ .

$e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}$

Paso 2.1.4.2.3

Combina $- 4$ y $\frac{28}{28}$ .

$e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}$

Paso 2.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}$

Paso 2.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.2.5.1

Multiplica $- 4$ por $28$ .

$e = \frac{- 112 - 25}{28}$

Paso 2.1.4.2.5.2

Resta $25$ de $- 112$ .

$e = \frac{- 137}{28}$

Paso 2.1.4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{137}{28}$

Paso 2.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$ .

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Paso 2.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Paso 3

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 7$

$h = - \frac{5}{14}$

$k = - \frac{137}{28}$

Paso 4

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 5

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Paso 6

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 6.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 7}$

Paso 6.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$\frac{1}{28}$

Paso 7

Obtén el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Paso 8

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{5}{14}$

Paso 9

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{69}{14}$

Paso 10

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Foco: $(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Eje de simetría: $x = - \frac{5}{14}$

Directriz: $y = - \frac{69}{14}$

Paso 11

Ingresa TU problema