Precálculo Ejemplos

\frac{y}{(y - 2) (y + 3)}

$\frac{y}{(y - 2) (y + 3)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar

A

$A$ .

\frac{A}{y - 2}

$\frac{A}{y - 2}$

Paso 1.2

B

$B$ .

\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es

(y - 2) (y + 3)

$(y - 2) (y + 3)$ .

\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de

y - 2

$y - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de

$y + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.5.2

Divide

$y$ por

$1$ .

$y = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Cancela el factor común de

$y - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{A (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6.1.2

Divide

$(A) (y + 3)$ por

$1$ .

$y = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6.3

Mueve

$3$ a la izquierda de

$A$ .

$y = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común de

$y + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.6.4.2

Divide

$(B) (y - 2)$ por

$1$ .

$y = A y + 3 A + (B) (y - 2)$

Paso 1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = A y + 3 A + B y + B \cdot - 2$

Paso 1.6.6

Mueve

$- 2$ a la izquierda de

$B$ .

$y = A y + 3 A + B y - 2 B$

Paso 1.7

Mueve

$3 A$ .

$y = A y + B y + 3 A - 2 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de

$y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen

$y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 3 A - 2 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Resuelve

$A$ en

$1 = A + B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como

$A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 3 A - 2 B$

Paso 3.1.2

Resta

$B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de

$A$ por

$1 - B$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de

$A$ en

$0 = 3 A - 2 B$ por

$1 - B$ .

$0 = 3 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica

$3 (1 - B) - 2 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica

$3$ por

$1$ .

$0 = 3 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.2

Resta

$2 B$ de

$- 3 B$ .

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.3

Resuelve

$B$ en

$0 = 3 - 5 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como

$3 - 5 B = 0$ .

$3 - 5 B = 0$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.2

Resta

$3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 B = - 3$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en

$- 5 B = - 3$ por

$- 5$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Divide cada término en

$- 5 B = - 3$ por

$- 5$ .

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de

$- 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide

$B$ por

$1$ .

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de

$B$ por

$\frac{3}{5}$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de

$B$ en

$A = 1 - B$ por

$\frac{3}{5}$ .

$A = 1 - (\frac{3}{5})$

$B = \frac{3}{5}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Simplifica

$1 - (\frac{3}{5})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Paso 3.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{5 - 3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Paso 3.4.2.1.3

Resta

$3$ de

$5$ .

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{2}{5}, B = \frac{3}{5}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$ con los valores obtenidos para

$A$ y

$B$ .

$\frac{\frac{2}{5}}{y - 2} + \frac{\frac{3}{5}}{y + 3}$

Ingresa TU problema