Ejemplos

$(- 7, 7)$ , $(3, 9)$

Paso 1

Usa la fórmula del producto escalar para obtener el ángulo entre dos vectores.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Obtén el producto escalar.

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Paso 2.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 7 \cdot 3 + 7 \cdot 9$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 21 + 7 \cdot 9$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $7$ por $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 21 + 63$

Paso 2.2.2

Suma $- 21$ y $63$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 42$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 7^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 7^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 49}$

Paso 3.2.3

Suma $49$ y $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{98}$

Paso 3.2.4

Reescribe $98$ como $7^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $49$ de $98$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 (2)}$

Paso 3.2.4.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Paso 3.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| a⃗ | = 7 \sqrt{2}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 9^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 9^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 81}$

Paso 4.2.3

Suma $9$ y $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Paso 4.2.4

Reescribe $90$ como $3^{2} \cdot 10$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $9$ de $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Paso 4.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{42}{7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $42$ y $7$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $7$ de $42$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $7$ de $7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 (\sqrt{2} (3 \sqrt{10}))})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 (\sqrt{2} (3 \sqrt{10}))})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{\sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $3$ de $\sqrt{2} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2} (\sqrt{10})})$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{20}})$

Paso 6.4

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 6.4.1.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{4 (5)}})$

Paso 6.4.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

Paso 6.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{5}})$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.5.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{5}})$

Paso 6.5.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}})$

Paso 6.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 6.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Paso 6.7.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Paso 6.7.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Paso 6.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Paso 6.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Paso 6.7.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 6.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Paso 6.7.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5})$

Paso 6.8

Evalúa $\arccos (\frac{\sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 63.43494882$

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