Ejemplos

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ , $x - 4$

Paso 1

Divide $\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}$ con división sintética y comprueba si el resto es igual a $0$ . Si el resto es igual a $0$ , significa que $x - 4$ es un factor de $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ . Si el resto no es igual a $0$ , significa que $x - 4$ no es un factor de $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

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Paso 1.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

Paso 1.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

	$1$

Paso 1.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 2)$ .

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$
	$1$

Paso 1.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$
	$1$	$2$

Paso 1.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 10)$ .

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$
	$1$	$2$

Paso 1.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$
	$1$	$2$	$- 2$

Paso 1.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 2)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(- 8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(7)$ .

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$	$- 8$
	$1$	$2$	$- 2$

Paso 1.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$	$- 8$
	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$

Paso 1.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 1)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(- 4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(4)$ .

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$	$- 8$	$- 4$
	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$

Paso 1.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$	$- 8$	$- 4$
	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$	$0$

Paso 1.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 2) x - 1$

Paso 1.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$

Paso 2

El resto de la división de $\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}$ es $0$ , lo que significa que $x - 4$ es un factor para $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

$x - 4$ es un factor para $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$

Paso 3

Obtén todas las raíces posibles para $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ .

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Paso 3.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Paso 3.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1$

Paso 4

Establece la próxima división para determinar si $x - 1$ es un factor del polinomio $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1}{x - 1}$

Paso 5

Divide la expresión mediante división sintética para determinar si es un factor del polinomio. Como $x - 1$ se divide uniformemente en $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ , $x - 1$ es un factor del polinomio y hay un polinomio restante de $x^{2} + 3 x + 1$ .

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Paso 5.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$

Paso 5.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$

	$1$

Paso 5.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(2)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$
	$1$

Paso 5.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$
	$1$	$3$

Paso 5.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 2)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$	$3$
	$1$	$3$

Paso 5.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$	$3$
	$1$	$3$	$1$

Paso 5.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$	$3$	$1$
	$1$	$3$	$1$

Paso 5.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$	$3$	$1$
	$1$	$3$	$1$	$0$

Paso 5.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 3 x + 1$

Paso 5.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} + 3 x + 1$

Paso 6

Obtén todas las raíces posibles para $x^{2} + 3 x + 1$ .

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Paso 6.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Paso 6.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1$

Paso 7

El factor final es el único factor que queda de la división sintética.

$x^{2} + 3 x + 1$

Paso 8

El polinomio factorizado es $(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)$ .

$(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)$

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